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[학습법] 인수 생각해보기 연습

고려대학교 의예과 이상진 마스터
등록일 :
2022.08.26
|
조회 :
6,893
안녕하세요
예전에 경찰대 수학문제 풀어보기(5) 까지 올렸다가 한참 뒤에 (6)을 올리네요..
과외 준비 때 풀어보다가 한 문제 가져와 봤습니다.

2023 경찰대 기출 문제 19번 문항입니다.

고2 학생 분들은중간고사 범위의 문제이기도 하니 한 번 풀어보시면 좋을 것 같고,
고3 분들은 직접 샤프 들고 문제 풀기 전에, 눈풀이로 f(x)를 어디까지 구할 수 있는지 테스트 해보시면 좋을 것 같습니다.
f(x)의 인수로 뭐가 있어야 하는지 생각해보면 손으로 풀기 전에 f(x)를 구할 수 있습니다.
image

문제를 가져온 취지에 맞춰 손필기 풀이 전에, 속으로 생각했던 흐름을 글로 따라가 보겠습니다.
풀이를 시작하자면,,

일단 문제를 보고 f와 g 함수가 서로 y 대칭이라는 것을 확인하고,
(가), (나), (다) 조건을 보면 f(1)=0, f(3)=0, g’(-3)=0 [ 단순히 미분계수가 0이라는 조건에서 끝나지 않고 g’(-3+)=0+ 입니다. 양의 무한대로 가기 때문에.] 임을 확인 했을 겁니다.
그러면 g’(-3)=0 이므로 f’(3)=0입니다.
따라서 f(x)는 (x-1)(x-3)^2 을 인수로 가짐을 알 수 있습니다.
그러면 (나) 식에서 분자에 (x-3)^2이 있으므로 분모의 (x-3)g(x) 에도 (x-3)^2이 있어야 합니다. 따라서 g(x)가 (x-3)을 인수로 가져야 하고, 그러면 g(3)=0입니다.
g(3)=0이므로 f(-3)=0입니다.

따라서 f(x)는 (x-1)(x+3)(x-3)^2을 인수로 갖습니다.
여기서 이 식이 모든 조건을 만족한 경우임을 알고 m=4 임을 알고 k를 계산하셔서 답 4번을 구하셨으면 잘 푸셨습니다.
다만 위에서 생각의 흐름을 쭉 따라갈 때, 자신이 (가), (나), (다) 각각에서 제시한 조건을 모두 만족시키면서 풀었는지 스스로 알고 있는 것이 중요합니다.
그래야 마지막에 f(x)의 차수의 최솟값이 4임을 확정지을 때, 불안감 없이 확신할 수 있기 때문입니다.


한 번 확인해 볼까요

f(1)=0. 이것만으로 (가) 조건은 클리어 했습니다.

f(3)=0만으로는 (나) 조건을 클리어 하지 못했습니다. 아직 분모에 대한 정보가 완전하지 않습니다.

(다) 조건에서 끌어온 정보를 통해 f’(3)=0임을 알았고, 이를 이용해 (나)의 분자에 (x-3)^2이 있음을 알았습니다.
그대로 g(x)가 (x-3)을 가짐을 알았습니다. 여기서 (나) 조건은 클리어 했습니다.

다만 추가적으로 발생한 g(3)=0 -> f(-3)=0을 만족시키기 위해 f(x)의 인수로 (x+3)을 추가시켜 줘야했습니다.
그렇게 구한 f(x)를 가지고, (다) 조건에서 g’(-3+)가 0+인지만 확인해주면 (다)조건도 완전히 클리어 했습니다.
(이 확인 작업은 g’(-3+) 0-가 아니라 0+이어야 하기 때문에 확인해주는 겁니다. (다)에서 극한이 ‘양’의 무한대로 가기 때문입니다)

점검 포인트
-> 처음에 문제를 읽고 어디까지 정보를 정확하게 뽑아 냈는가? ( 다 조건의 0+, 나 조건 등)
-> f(x)의 인수를 어디까지 구해 냈는가?
-> 인수는 다 구했어도, 고려하지 못했거나 넘어간 조건이 있나?

손글씨 해설로 반복해보면 다음과 같습니다.
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마지막에 g’(-3+)가 0-인지 0+인지 검증하는건 그래프 개형 생각해보면 됩니다.
아래와 같습니다.
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글 읽어주셔서 감사합니다.
9모(8모?) 얼마 안남았는데 끝까지 파이팅 하세요!
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