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[학습법] 쉽게 배우는 벡터 외적…!

한양대학교 기계공학부 최석우 마스터
등록일 :
2024.02.24
|
조회 :
10,564
네 안녕하세요!!!
두번째 글이에요 ㅎㅎㅎㅎ
오늘 써 볼 건 사설 공간도형과 평가원 기출(과거 기출, 최근 기출에는 외적으로 풀리는 것을 지양) 풀때 벡터의 외적을 알면 아주아주 쉽게 풀리는 문제들이 있어요!!
그래서 오늘은 벡터의 외적을 써보려고 해요..

일단 외적을 설명하기 앞서 배경지식 여러가지만 쓰고 가겠습니다…!
아 근데 난 설명 듣기 싫어!! 하시는 분은 마지막으로 가시면 됩니다????
외적을 쓰기 위해서는 평면의 결정 조건 중 꼬인위치 관계가 아닌 두 직선이 존재 할 때 두 직선을 동시에 지나는 평면은 하나뿐이다.라는 조건 기억하시나요???
제가 까먹은 분들도 있을거같아 자료도 갖고왔습니다..!(출처 네이버 지식 백과)image
네 그래서 직선 두개가 왜 나오냐고요? 사실 직선을 여기서 방향벡터로 볼 것입니다..!
벡터의 외적이란 두 벡터를 외적하면 그 두 벡터에 대해
모두 수직인 벡터를 구할 수 있습니다.(또는 두 벡터가 이루는 평면의 방정식)
여기서 또! 알아야 할 것
공간도형에서 한 평면에 대한 수직인 직선의 정의가 무엇이였죠?
평면상의 모든 직선과 수직일때 그 직선은 평면과 수직이라고 배웠습니다.
하지만 저희는 모든 직선을 다 그려 볼 수 없기 때문에
평면 위의 두 직선과 모두 수직이면 그 평면의 수직인 직선이라고 합니다.(출처 네이버 지식 백과)image

그럼 두 벡터를 외적 했을때 두 벡터에 대해 모두 수직인 벡터가 나오는 것입니다!!!
그럼 저희가 도출 할 수 있는 결론은
두 벡터가 지나는 평면이 있을때…! 두 벡터를 외적하면 그 평면의 수직인 직선 즉,법선 벡터를 구할 수 있습니다.
혹시,법선 벡터의 엄청남을 아시나요?
두 평면의 이면각을 구할때 삼수선의 정리를 사용합니다.
하지만 법선 벡터를 이용하면
두 법선벡터끼리 이루는 각을 이용해 간접적으로 구할 수 있습니다. 이 부분은 이미 기출 된 소재이므로 막 교과외! 치부할 것이 아닙니당(20231130번)image
이렇듯이 a평면 위 두 벡터를 외적 후 b평면 위 두 벡터를 외적후 두 벡터가 이루는 각을 구하면 이면각 cos@를 구할 수 있습니다…!
그래서 벡터 외적 어떻게 하는거냐구요??????
image
이렇듯이 평면 a가 있을 때 벡터는 모두 상대적인 위치 관계이므로 A를 (0,0,0)으로 두고 AB벡터 (3,2,1)
AC벡터(5,4,1)로 잡은 후 외적을 합니다.
외적 공식은image
각 벡터를 y좌표 z좌표 x좌표 y좌표 순으로 적으 신 후 교차하며 서로 곱하는데 노란색 화살표는 곱하고 부호 유지 연두색은 곱하고 부호 (-)붙여주는 것입니다. 그리고 화살표 순서대로 각각 x,y,z입니다.그리고 곱한 것을 x는 x끼리 더하고 y는 y끼리 더하고 z는 z끼리 더하는 것입니당.
그러면 두 벡터가 이루는 평면에 대한
법선 벡터가 나올 것입니다…!
이를 이용해 위의 AB,AC 벡터들을 외적해보면image
평면 a의 법선 벡터는 (-1,1,1)입니다…!
이렇게 나머지 평면도 외적하여 법선 벡터를 구하면
저희가 평면 벡터에서 배웠던 것 
두 직선이 이루는 각…! 내적을 이용해 구했었습니다.
그것 공간도형에서도 똑같이 성립을 합니다.
그렇게하여 이면각을 구할 수 있습니다..!
평면 상황이 전혀 인지가 안될 때 쓸 수 있는 최후의 보루 느낌으로 가져가주시면 좋을 것 같습니다…ㅠㅠ
제가 최대한 풀어 설명하려했는데 역시 어려운 개념이라 좀어렵네요 ㅠㅠ…??
(((((((((이건 번외인데
저같은 경우는 외적은 정사면체에서만 사용합니다..
왜냐면 정사면체에서는 외적이 그냥 너무 깡패에요…
왜냐면 정사면체에서는 외적 좌표를 아주 간단히 잡을 수 있는데image
정사면체에서는 이렇게 좌표를 잡을 수도 있기때문입니다.
정사면체에서 좌표를 이렇게 잡으면 평면 이면각 이외에도
두 직선이 이루는 각을 저 좌표로 잡고
두 직선이 이루는 각 내적으로 구해주시면 아주 깔끔하고 쉽게 풀립니다..!
여기까지 저의 설명이였고
다 읽어주신분이 있다면 눈물나게 감사합니다 ㅠㅠㅜㅠ
저가 글을 많이 잘 못쓰는 편이라…암튼!!!!
저희 기하러일동 으쌰으쌰해요..!
다들 감사합니다??????
다음엔 방향코싸인편 또는 기하에서 자주쓰이는 평면도형 교과외 공식!으로 찾아뵙겠습니다..!
다들 2025수능 기하 파이팅!!…!!!
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