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[학습법] 마지막. π가 무리수인 이유.

성균관대학교 자연과학계열 김재서 마스터
등록일 :
2024.03.14
|
조회 :
9,261
맛있는 증명 마지막 칼럼, π가 무리수인 이유.
시작하겠습니다.


썸네일을 보고 들어온 여러분을 환영한다.
오늘은 3월 14일, π데이다!
π데이인 만큼, π에 대해 알아보는 시간을 가지자.

썸네일을 보고 들어온 독자들은 다음과 같은 생각이 들 것이다.

“오늘 π데이 아니고 화이트데이 아닌가요?”
“π데이는 솔로만 챙긴다던데…”
“설마 마스터님도 모솔?”

이러한 생각이 든다면, 당장 그 생각을 멈추어주기 바란다.
그렇지 않으면 수학적 귀납법으로 너를 솔로로 만들 것이다.

크흠. 어쨋든, 오늘은 π데이니만큼, 이 칼럼에서는 π의 무리성에 대해 다뤄볼 것이다.


우리는 모두 π가 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수임을 알고 있을 것이다.
그렇다면, 왜 π가 무리수인지 그 이유를 알고 있는가?
교과서에서도, 어디에서도 π가 무리수인 이유를 알려주지 않는다.
그저 이유없는 공허한 외침만이 반복될 뿐이다.

우리는 오늘, Ivan Niven의 증명을 통해 π가 왜 무리수인지 알아보려고 한다.
어렵지 않다. 고등학교 미적분을 수강한 고3이라면, 누구나 무리없이 이해할 수준의 증명이다.
그리고 그렇게 하기 위해 몇 주간 고민에 고민을 거듭하여
증명을 여러분이 이해할 수 있도록 뜯어고쳤으니,
걱정하지 않아도 좋다.

그럼 π의 무리성에 대한 증명을 시작하겠다.

우선, 다음과 같은 보조정리들을, 증명 없이 사용하겠다.

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이미 맛있는 ‘증명’ 지난 칼럼에서 증명했던 정리들이므로, 
지금 여기서 다시 증명할 필요는 없다고 판단하였다.
지난 칼럼을 보지 않은 독자일지라도,
저 정리들을 이해할 필요는 없으니 너무 걱정하지 않길 바란다.

또한, 다음과 같은 표기법을 정의하자.
어떠한 함수가 계속 미분가능하다면, 
1번, 2번, … , n번 미분한 도함수를 정의할 수 있다.
그러한 도함수를 다음과 같은 표기를 사용하여 정의하자.

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처음 보는 낯선 표현에 익숙치 않을 수도 있다.
그럼 다음 명제를 이해해보면서 조금 익숙해지는 시간을 가지자.

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????????????????

이제 본격적으로 π의 무리성에 대한 증명을 시작하겠다.
결론을 부정하여 π가 유리수라고 가정하자.
그러면 π = p/q를 만족하는 양의 정수 p, q가 존재한다.

이때. 자연수 n에 대하여 다음 함수를 정의하자.

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이 함수는 다항함수이므로, 우리가 원하는 만큼 미분할 수 있다.
그러면 그 미분계수는 다음과 같다는 사실을 증명하자.

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이를 통해 x=0일때, x=π일 때의 미분계수는 항상 정수임을 증명하자.

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그리고 마지막으로, 새로운 함수 F(x)를 다음과 같이 정의할 때,
F(0)+F(π)가 모든 자연수 n에 대해 정수임을 증명하자.

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???????????????

?1단계가 끝났다.
1단계에서는 새로운 함수 f(x)와 F(x)를 정의하였고,
모든 자연수 n에 대하여 F(0)+F(π)가 정수임을 증명하였다.

증명이 이해가지 않는다면, 이 결론만 얻고 지나가도 좋다.
잠시 숨을 고르고, 다음 단계로 넘어가자.

???????????????

먼저 다음을 증명하자.

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이것을 이용하여, 다음을 증명하자.

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그러므로, 다음 식이 성립한다.

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 ???????????????

2단계가 끝났다.
2단계에서는, F(x)+F’’(x)=f(x)임을 이용해
f(x) sin x 의 정적분이 F(0)+F(π)임을 얻었다.

왠지 F(0)+F(π)가 중요해보이는 것 같다면, 정답이다.
이 F(0)+F(π)가 모순을 보이는 가장 핵심적인 식이기 때문이다.

잠시 숨을 고르고, 다음 단계로 넘어가자.

???????????????

이번 목표는 다음 식을 증명하는 것이다.
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계산이 많으니, 계산의 경우 이해할 필요 없이 넘어가도 좋다.
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???????????????

3단계가 끝났다.
3단계에서는 모든 자연수 n에 대하여
 0<F(0)+F(π)<(복잡한 식)을 증명하는데 혼신의 힘을 다했다.
3단계에서 증명한 식은, 4단계를 증명하는데 중요한 역할을 할 것이다.


잠시 숨을 고르고, 다음 단계로 넘어가자.

???????????????

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???????????????

4단계에서는 0<F(0)+F(π)<1을 만족하는 
자연수 N이 존재한다는 것을 증명하였다.

잠시만, F(0)+F(π)는 정수였다고 하지 않았나?
맞다. 바로 이것이 5단계의 핵심이자, 모순의 핵심이다.

잠시 숨을 고르고, 다음 단계로 넘어가자.

???????????????

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???????????????

5단계를 끝으로, 모든 증명이 끝났다.

이를 다시 한 번 정리하자면,

1단계에서는 f(x) 및 F(x)를 정의하였고, 
모든 자연수 n에 대하여 F(0)+F(π)가 정수임을 증명하였다.

2단계에서는 F(x)+F’’(x)=f(x)임을 이용해
f(x) sin x 의 정적분이 F(0)+F(π)임을 얻었다.

3단계에서는 모든 자연수 n에 대하여
 0<F(0)+F(π)<(복잡한 식)을 증명하는데 혼신의 힘을 다했다.

4단계에서는 0<F(0)+F(π)<1을 만족하는 
자연수 N이 존재한다는 것을 증명하였다.

5단계에서는 앞선 단계를 이용하여 모순이 있음을 증명하였다.

???????????????

어떤가? 앞선 내용을 한 번에 이해할 필요는 없다.
천천히, 천천히 내용들을 이해하면서 전체 증명의 감을 잡으면 된다.
그러다 보면 어느 순간 증명을 이해할 수 있을 것이다.

맛있는 ‘증명’ 칼럼 연재는 이 증명을 마지막으로 끝낼 것이다.
여기서 끝내는 것이 적절하다고 판단했기 때문이다.
물론 |수리논술| 칼럼은 앞으로도 계속 연재할 것이고,
잠시 휴식기를 가진 후 다시 새로운 주제로 연재를 시작할 것이다.

맛있는 ‘증명’ 칼럼을 쓴 이유는…
여러분이 증명을 어려워하지 않았으면 했기 때문이다.
비록 내 칼럼은 재미가 있지도 않고, 어렵고, 난해하지만,

“내 칼럼을 읽은 사람이 무언가라도 얻어갔으면 좋겠다.”

하는 바람으로 정말 정성을 다해서 칼럼을 작성하였다.


정말로, 누군가라도 이 칼럼으로 도움을 받길 기대하며,
그리고 지금까지 
맛있는 ‘증명’
을 읽어준 것에 대한 감사를 전하며.
이 칼럼을 마친다.

fin.
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