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수학 문제 접근법

이름 : 김재연  스크랩
등록일 :
2023-07-08 12:34:55
|
조회 :
36,348
안녕하세요, 오랜만에 찾아뵙습니다. 김재연입니다.

저는 대학 합격이 발표된 이후 수능 판에서 발을 떼버려서, 최근 이슈가 되고 있는 소재들이나 문제 푸는 법 등을 주제로 칼럼을 쓰지 않으려 했습니다. 하라면 할 수 있겠지만 과외 및 학원 조교 등을 이어오고 있는 분들보다는 다소 부족한 점이 있을 테니까요.

그럼에도 댓글로 요청해주신 분들도 있고, 여름이 되어 종강하고 만난 주변 n수생들이 수학에서 어려움을 겪는 모습을 보고 저도 문제풀이에 한 번 도전해보려고 합니다.

오늘은 2022년도 수능 수학 22번, 그러니까 제가 현역에 마주했던 킬러문제를 가지고 문제를 뜯어보려고 합니다.

제가 현우진 선생님의 드릴 및 킬링캠프, 그 외 수학 자료들을 가지고 연습했던 방식이니까요. 독자분들이 영감을 얻거나 방법을 차용할 수 있다면 좋겠다 싶습니다.

2022년도 수능 수학 22번

최고차항의 계수가 1/2인 삼차함수 f(x)와 실수 t에 대하여, 방정식 f'(x)=0이 닫힌구간 [t,t+2]에서 갖는 실근의 개수를 g(t)라 할 때, 함수 g(t)는 다음 조건을 만족한다.
(가) 모든 실수 a에 대하여 limt->a+ g(t) + limt->a- g(t) <= 2이다.
(나) g(f(1)) = g(f(4)) = 2, g(f(0)) = 1

f(5)의 값을 구하시오.

복붙하면 칼럼 업로드에 오류가 생겨서 수기로 작성했습니다. 기출문제를 옆에 두고 한 번 보셔도 좋을 것 같아요.

제가 이런 킬러문제를 풀 때 첫 번째로 생각했던 점은, 문제상황을 명확히 정리하는 것입니다. 이 문제에 x와 t와 a라는 문자, f와 g라는 함수가 등장하는 것처럼 어려운 문제일수록 다양한 문자와 함수가 등장해 착란을 유발하지요.

그런데

일단 문제를 풀기 위해선 얘네가 뭘 의미하는지 알아야 하지 않을까?
싶어서 '상황을 연상하는 연습'을 4-5월 달부터 시도했던 기억이 납니다.

상황 파악

이 문제의 경우,

1. f(x)는 최차계 1/2인 삼차함수다. 모양은 아마 ~ 이 모양일 것이고. 설마 / 이런 형태는 아니겠지.

2. f'(x) = 0은, 삼차함수의 도함수의 근이니까. 0 1 2개 중 하나겠군.

3. t는 g(t)라는 함수의 변수이고, t가 변함에 따라서 구간 [t, t+2] 도 이동하겠네. 길이가 2인 검열대가 이동한다고 생각하면 되겠다.

4. f'(x) = 0을 그래프로 표현했을 때 아예 안 만나거나 / 접하거나 / 근을 두 개 가질 텐데. (나) 조건에서 g(뭐시기) = 2 라고 했네? 그렇다면 근을 두 개 갖는 형태겠구나.

5. 그렇다면 f'(x) = 0 이 두 개의 근을 갖고 있는데, 그 근 두 개 사이의 간격을 모르는 상태네.

여기까지는 문제를 지그시 바라보면서 떠올릴 수 있습니다. 대단한 스킬이나 효율적인 개념이 없어도,
다양한 문자의 향연에 지레 겁먹지만 않는다면요.

힌트의 조합

상단에서는 상황 파악과 함께, 구해야 하는 값을 좁혀낼 수 있었습니다.

입시 수학이 보통 그렇죠! 특히 수능 수학은 서술형이 없으니까요. 어떤 복잡한 상황을 주더라도, 결국

상황 해석 -> 힌트 조합 -> '값 구하기'를 벗어나지 않습니다. 어떤 값을 구해야 하는지를 '상황파악' 단계에서 해낼 수 있느냐가 문제풀이의 첫 단추라고 생각합니다.

여하튼 다시 문제로 복귀하면...

지금 우리가 구해야 하는 바는 f'(x) = 0 의 두 근 사이 간격입니다.

제가 수능 공부할 때 하필 t와 t+2 사이 간격이 2라는 게 찜찜해서 두 근 사이 간격이 2라고 두고 출발하라는 강사들도 많았지만요. 그런 직관이 머릿속에 떠오를지언정 연습할 땐 별로 좋은 접근방식이 아니라고 봅니다. 물론 수능 날에는 그런 직관부터 먼저 풀어봐야겠지만요.

f'(x) = 0 두 근 사이 간격 을 모르고 있기 때문에, 사용하지 않은 힌트인 (가) 조건을 가져와야 할 것 같습니다. 위의 상황파악 단계에서 안 써먹었으니까요.

(가) 조건으로 간격을 구한다 -> (나) 조건의 상황을 그려서 삼차함수를 구한다 -> f에 5를 대입해서 값을 구한다.

라는 단계만 남은 것 같습니다.

(가) 조건은, 모든 실수 a에 대하여 lim 어쩌구라고 써있습니다.

lim에 들어가 있는 함수는 g(t)죠. 즉, t=a일 때, a와 a+2 라는 간격 2짜리 막대기를 삼차함수의 도함수에다가 가져다 댔을 때... a-~a-+2 / a+~a++2 두 가지 상황의 개수 합이 2보다는 항상 작아야 합니다.

그런데 '모든 a'에 대해서라고 했으니까요. 만약 간격이 2보다 짧다면, 길이 2짜리 막대기가 근 두 개를 모두 덮을 수 있죠? 그러면 개수 합이 4가 나올 수도 있으니까 안 됩니다.

그렇다고 길이가 2를 넘어간다면, (나) 조건에서 g(어쩌구)가 2가 나올 수 없어요.

그래서 근 간격은 2입니다.

아하! 최차계도 주어졌고, 극점 사이의 x 좌표 간극은 2구나.

그렇다면 슬슬 함수식을 작성해볼 수 있습니다.

그런데 작성단계 이전에 안 쓴 힌트 하나가 남아있는데, (나) 조건의 f(1) f(4) f(0) 들이에요.

t가 f(1)이나 f(4)일 때 길이 2 막대기에 근이 두 개 덮여야 하니까 두 값은 같을 겁니다.

f(0)은 근 한 개만 덮이는 위치 어딘가에 남아있겠네요.

그렇다면 ~모양 삼차함수를 그려서, 극대점 x 좌표를 f(1)=f(4)라고 둡시다. 일일이 f라고 쓰기 불편하니까 k라고 둘까요.

그러면 극소점 x좌표는 k+2겠죠?

함수식은, f(x) = 1/2 (x-k)^2(x-k-3) + f(k) 입니다.

이젠 k만 잘 구하면 f(x)를 전부 알아낼 수 있고, 5를 대입할 수도 있겠네요.

f(1) = f(4)라는 걸 이용해봅시다.

f(1) = 1/2(k-1)^2(-k-2) + f(k)

f(4) = 1/2(k-4)^2(-k+1) + f(k)

둘이 같으니까, (k-1)^2(k+2) = (k-4)^2(k-1)

일 것이구요,

이항해서 k-1로 묶으면

(k-1)(k^2+k-2 - k^2 + 8k -16) = 0

9(k-1)(k-2) =0 입니다.

k값이 1 또는 2로 두 개가 나오는데, 아직 g(f(0)) = 1이라는 조건을 안 써먹었죠.

둘 중 하나는 오류겠네요.

확인해보면 k=1만 가능해서

f(x) = 1/2 (x-1)^2(x-4) + 1

이고, 5 넣으면 값은 9네요.

마무리

이미 많이 풀어본 문제라 쉽게 해설하는 것 아니냐 싶으실 수도 있는데요.

저는 '나 이 문제 풀어낼 수 있지롱~' 하고 놀리려는 게 목적이 아니니까요.

문제를 읽고 복잡한 상황을 머릿속에 그려내고, 무엇을 구해야 하는지 파악하고, 구하는 데에 있어서 써먹은 힌트와 남은 힌트를 떠올리며 하나하나 적용하라는 팁을 드리고 싶었습니다.

수능 수학은 악랄하게 틀리라고 출제한다기보다는 숨겨진 힌트를 찾을 수 있느냐를 묻는 것 같습니다.

힌트만 찾아낼 수 있다면, 그것들을 '모두' 사용해서 '단 하나의' 답을 구할 수 있도록 만들어져 있어서 그런 생각이 듭니다.

이상 수학 풀이가 도움이 되었으리라 바라구요. 남은 130일 화이팅하세요!
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서울대

김재연 멘토

  • ○ 서울대 경영대학 23학번
  • ○ 인문계열 / 정시전형
  • ○ 제19기 목표달성 장학생
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