메가스터디

안녕하세요! 22기 멘토 이하진입니다:)

벌써 9월 모의고사가 실시되었네요. 최대한 빨리 수학 리뷰를 해드리려고 했는데요, 제가 국가의 부름을 받고 지방에 내려와서 조금 늦어졌습니다.

일단은 7월 전대실모 해설과 마찬가지로 제가 처음에 문제를 보고 어떻게 생각하고 어떻게 풀었는지 먼저 설명한 후, 일부 문제에 한해 추가적으로 코멘트를 드리도록 하겠습니다. 

총평 

숙련된 학생에겐 쉽고 그렇지 않은 학생에겐 어렵게 느껴질 시험이라 생각합니다. 당연한 얘기긴 한데, 평소보다 그 편차가 더 크다는 의미입니다. 미적 기준 자주 출제되는, 소위 국밥 유형으로만 구성되어 있고 논리 구조도 복잡하지 않은 게 한몫합니다. 

13번 ㄷ 선지를 제외하면 기출과 사설 학습이 잘 되어 있다는 전제에서 21번까지 막힐 문항이 없었습니다. 15번은 13번보다 쉬웠고, 21번의 절댓값 미분가능성은 너무 많이 나온 주제죠. 아마 22번이 가장 이슈일 것 같은데, 6모 수열에 이어 9모 지수로그가 등장하며 수능 때 뭐가 나올지 예측할 수 없게 되었습니다. 지수로그 문제를 좋아하고 지수로그 관련 글을 올린 저로서는 이게 개인적으로 맘에 들긴 합니다. 9모 22번에도 똑같이 적용되니까 안 읽으신 분들은 한 번 읽어보셔도 좋을 것 같네요.

미적은 6모와 마찬가지로 28>29>30이라 할 수 있겠습니다. 30번 적분 문제는 요즘 메인으로 나오는 주제는 아니라서 최근 기출 위주로 보신 분들은 절었을 수 있는데요, 사실 이런 적분 퍼즐은 과거 기출과 사설에서 너무 많이 다뤄진 내용이라서 문제를 많이 풀어보신 분들은 역시나 쉽게 해결할 수 있습니다. 29번 급수는 맨날 나오던 거니 패스하고, 28번이 22번과 더불어 가장 이슈가 아닐까 생각합니다. 음함수 미분 문제도 유구한 역사를 지닌 국밥 유형이긴 하지만, 원래 학생들은 도형을 잘 못 다루기도 하고 계산도 많아서 시간 소모가 컸을 것입니다.

이렇게 밑밥을 까는 이유는 제가 28번의 기깔나는 풀이를 가져왔기 때문이죠. 여러분도 여러 해설 강의 들어보셨을 테니까 비교해 보고 내가 아는 풀이가 더 기가 막힌다 싶으면 댓글 달아주세요. 

풀이 

12번

그냥 여러분 아는 대로 풀면 됩니다. 삼각형 결정됐으니 외접원 반지름 알 수 있고, 사인값 알고 있으니 사인 법칙 쓰면 바로 나오죠. 

물론 저는 도형만 나오면 괴상한 풀이를 하고 싶어서 다른 풀이도 제시하겠습니다. 이게 제 최초 풀이입니다. 물론 전혀 실전성도 유용성도 없습니다. 원에 내접하는 사각형이 나오면 대각의 합이 180도라는 성질을 쓸 수 있죠. 그 말은 둘로 나눠진 삼각형을 떼어내고 적당히 확대/축소해서 남은 삼각형에 붙이면 삼각형으로 만들 수 있다는 것입니다. (기출에서는 길이가 같다는 조건이 있어서 그냥 붙일 수 있는 문제가 있습니다) 그렇게 붙여놓고 열심히 계산하면 같은 결과가 나옵니다.

13번

ㄷ을 엄밀하게 판단하기 쉽지 않은 것 같습니다. 직관적으로 당연한 거긴 한데, 설명하긴 애매하네요.

14번

이건 걍 하면 되잖아요? 생략합니다. 생략한다는 건 힘들어서 안 풀었다는 뜻입니다.

15번

15번이라기엔 상당히 쉽습니다. 분모가 0이 되는 지점을 관찰하고 싶습니다. 당연히 f(x)=0의 실근의 개수가 중요하고, 서로 다른 두 실근을 가져야 함을 쉽게 일 수 있습니다. 분모의 두 함수는 평행이동 관계이니 적당히 움직이면서 f(x)와 -f(x-t)의 교점의 위치를 파악해 봤습니다. 그러니까 실근의 위치가 바로 특정됩니다. 

이런 조건을 해석할 때 범위에 등호가 들어가는지 확인하고 그 이유를 규명하는 게 중요하게 작용할 때가 많습니다. 이 문제에서도 등호가 있기 때문에 실근을 확정 가능한 것입니다. 

21번

절댓값 함수의 미분가능성 문제입니다. g의 미분불가점이 하나이므로 절댓값의 미분불가점도 같은 곳에 위치해야 하고, 따라서 a의 값이 한정됩니다. 각각의 경우에 ‘실제로‘ 그 점에서 미분가능하기 위해 미분계수를 조사해 보면 쉽게 풀 수 있습니다.

(가) 조건이 과조건이라고 합니다. 제가 직접 해보진 않았지만, (가) 없이도 실근 3개 케이스는 배제되고, 최대와 최소를 구해야 해서 결국 2개일 때가 답이라고 합니다. 심심한 분들은 해보셔

22번

그나마 공통에서 가장 어려운 문항입니다. 제가 지수로그 칼럼에서 말씀드렸는데요, 애초에 풀릴 리가 없는 초월방정식이 풀린다는 건 문제에 주어진 점들이 ‘대응되는 점‘이라는 갓입니다. 그러면 결국 해당 점들이 기울기가 1인 직선에 대칭적으로 나타날 수밖에 없음을 인지하고 검증합시다. (밑이 동일하기 때문에 기울기 1인 직선에 대칭이라 확신하는 것입니다. 확대 축소가 들어간 경우는 밑을 동일하게 맞추기 위해 적절한 변환을 가해주고 대칭성을 이용할 수 있습니다.) 

주어진 이차함수가 합동입니다. 직사각형 조건에 의해 평행하고 길이가 같은데, 합동인 이차함수 위의 두 점을 이은 선분의 기울기와 길이가 같다면, 동일한 점이 평행이동된 것일 수밖에 없습니다. 이제 이 점들이 얼마나 평행이동되었는지 알면 직각 조건에 의해 선분의 기울기를 알 수 있습니다. 조사해 보면 이차함수가 (1,-1) 평행이동이므로 선분의 기울기가 1입니다. 저는 x축 방향 평행이동만 보고 y축 방향은 조사도 안 했습니다. 문제가 풀리려면 당연히 같을 수밖에 없다는 걸 아니까요. 기울기가 1이고 길이가 같은 성분이 밑이 같은 지수와 로그함수 위에 놓여 있습니다. 당연히 적당한 대칭, 평행이동으로 만들어진 ‘대응되는 점’입니다. 대칭을 통해 선분이 지나는 직선을 찾고 이차함수와 연립하면 좌표가 특정됩니다. 이제 지수함수에 대입하면 a가 특정됩니다.

얘도 과조건입니다. 알아낼 수 있는 의미있는 좌표는 두 개인데 미지수는 하나거든요. ’우연하게‘ 두 잠에서 얻어낼 수 있는 정보가 동일해서 상관이 없는 것입니다. 처음에 풀 때 식이 하나 남아서 순간 오류인 줄 알고 깜짝 놀랐습니다. 쨌든 이게 맘에 안 들어서 함수를 약간 바꿔봤습니다. 신성규 선생님 해설 들으신 분들은 똑같은 거니까 안 보셔도 됩니다. 

28번

그냥 음함수 미분 문제입니다. 모든 음함수 미분 문제가 그렇듯 무지성으로 변수 잡고 무지성으로 식 작성하고 무지성으로 대입 미분 대입하면 당연히 풀립니다. 물론 얼마나 지성 있게 변수 잡고 식 작성하고 대입 미분하는지에 따라 계산량은 천차만별이죠. 일단은 제가 찾은 그나마 계산이 가장 적은 풀이를 가져왔습니다.

중심각을 알파로 잡았습니다. 알파의 사인/코사인값 구하느라 다들 애를 먹는데, 그럼처럼 연장선을 그어주고 탄젠트값을 써주면 아주 쉽게 알아낼 수 있습니다. 그 다음으로 삼각형 OPA에서 코사인법칙과 사인법칙을 써서 관계식을 얻고, 양변에 자연로그를 취하고 미분하면 아주 아름다운 식이 나옵니다. 저렇게 풀면 루트값 하나 안 구하고 깔끔하게 마무리할 수 있습니다.

다시 말하지만 음함수 미분은 풀기만 하면 장땡입니다. 개쩌는 풀이 고민할 시간에 계산하는 게 더 빠릅니다. 그래도 재밌으니까 한 번 보여드렸습니다. 저작권 이슈로 문항을 일부 가려야 한다고 해서 발문은 갖고 계신 시험지 참고해주시면 감사하겠습니다. 

29번은 생략

30번은 적분 퍼즐입니다. 사실 퍼즐이라고 하기엔 부족하죠. 여러 개를 짜맞추는 게 아니라 그냥 적분을 계산하는 거니까요. 

적분은 원래 어렵습니다. 나한테만 어려운 게 아니라 저한테도, 학원 강사에게도, 저기 관악산 연구실에 앉아있는 수학과 교수님한테도 어렵습니다. 무슨 말인고 하니 내가 적분하려고 노력하는 함수가 사실은 적분이 안 되는 함수일 수 있다는 겁니다. 그러면 당연히 적분을 하면 안 되죠. 적분을 안 하고 풀려고 고민해야 합니다. 일단 f에 대한 적분으로 바꿨다고 합시다. 따로따로는 적분이 안 되니 구간을 통일해 합치는 게 당연합니다. 그러고 나니 아주 아름다운 형태로 변환할 수 있다는 희망이 보입니다. 계산하면 끝입니다. 저는 계산 실수해서 틀리긴 했습니다.

마무리

가볍게 쓰긴 했지만, 원래 현장에서는 모든 문제가 어렵게 느껴지기 마련입니다. 확신이 없다면 고민이 많아지기 마련이니까요. 어떤 문제가 나와도 흔들리지 않는 실력을 쌓아야 합니다. 수능 수학은 개념의 선을 명확히 인지하고 그에 맞춰 합당한 풀이를 하는 것이 중요합니다. 그 과정에서 사용할 수 있는 여러 테크닉이 있지만 본질은 변하지 않죠. 여러분의 노력이 결국 빛나길 바라면서 글을 마무리하도록 하겠습니다. 지금까지 22기 멘토 이하진이었습니다. 

수정) 목달장 칼럼 보상으로 받았는데 아무나 쓰세요

<얼음요새>

눈부시도록 아름다워 안되는 줄 알면서도
작은 기적이라도 내게 찾아와줄 수는 없는지
온갖 차가운 말로 내 맘을 얼어붙게 해
부디 나약한 내 손을 잡아줘