안녕하세요, 21기 목표달성 장학생 황인찬입니다.

국어와 영어 내신 공부법을 올린지 시간이 꽤나 흘렀네요.

사실 최대한 빠르게 수학 공부법 칼럼을 작성하고 싶었습니다만, 동기 MT 준비 및 바쁜 학교생활로 인해 시간이 잘 나지 않았습니다.

MT가 끝나면 시간이 많이 남을 예정이기 때문에 앞으로는 좀 더 빠르게 올려보도록 하겠습니다.

그리고 조만간 MT 준비 과정과 후기, 학교 축제와 여러 대학 생활에 관한 칼럼을 업로드할 예정이니 많은 관심 부탁드립니다.

오늘은 내신 수학 시험 대비 방법에 대해 소개해보고자 합니다.

사실, 저는 내신과 수능을 딱히 구분하지 않고 공부했기 때문에 오늘 소개하는 제 공부 방법은 최저등급을 맞추기 위해 수능을 공부했던 방식이기도 합니다.

문제풀이 관점에서의 ‘수학의 본질’ : 수학문제는 일종의 퍼즐이다.

먼저 수학에서 문제풀이의 본질은 무엇이며 어떤 과정을 따라서 해야하는지에 대해 먼저 논해보려 합니다.

제가 수학자가 아니기 때문에 수학이라는 학문에 대한 거창한 의견을 제시하려는 것은 당연히 아니고, 제가 생각하기에 수능, 내신의 관점에서 문제풀이 과정은 일관되게 정해져 있다는 것을 말씀드리고 싶은 것입니다.

먼저 아래의 3가지 조건을 봐주세요.

칼럼 작성을 위해 제가 조잡하게나마 만들어 본 조건들입니다.

하나하나씩 해석을 해보면 결국 같은 의미를 가진 조건들임을 알 수 있습니다.

‘표현은 다르지만’ 가지고 있는 ‘의미들은 같은’ 것이죠.

비단 제가 만든 조건들에서뿐만 아니라 내신에서든, 평가원 모의고사에서든 이런 식으로 같은 의미의 조건들이 표현만 달리하여 나오는 경우가 상당히 많습니다.

그래서 ‘기출’을 완벽히 공부하는 것이 중요합니다.

‘표현’에 현혹되는 것이 아니라, 각각의 표현들이 가진 ‘의미’를 본질적으로 파악할 수 있어야 한다는 것입니다.

저는 이런 하나하나의 의미들을 ‘발상’이라고 말합니다.

하나의 문제는 여러 가지 발상들이 모여서 만들어지는 것이죠.

여러 가지 블록들이 모여서 하나의 모형, 작품이 되는 것이라고 비유하면 이해하기 쉬우실 것 같습니다.

250621 문항으로 예시를 들어보겠습니다.

 위 문제를 풀기 위해 저는 총 3개의 발상이 필요하다고 느꼈습니다.

발상 1 : 방정식 f(x)=k가 가지는 실근의 개수는 기하학적으로 봤을 때, y=f(x)와 y=k가 가지는 교점의 개수로 볼 수 있다는 생각 (물론, 중근도 포함될 수 있음.)

즉, 기하학적으로 인식할 수 있는가에 대한 여부

발상 2 : 사차함수가 가질 수 있는 여러 가지 개형에 대해 알고 있는지에 대한 여부

이 발상을 바탕으로 발상1과 함께 생각하여 상당수의 불가능한 개형들을 제거할 수 있음.

발상 3 : 얻은 정보들을 수식화하는 능력

그래프만 그려서는 함수 f(x)가 어떤 식을 가지는지 알 수 없음.

따라서, 그래프로 얻은 정보들을 식으로 표현하는 능력이 필요함.

이 문제는 발상1, 발상2, 발상3이 조화롭게 결합되어 만들어진 문제인 것이죠.

하지만 이런 발상1, 발상2, 발상3는 갑작스럽게 요구된 생각들이 아닙니다.

기출문제를 통해서 학습할 수 있는 생각들입니다.

하지만, 같은 조각들을 가지고 있어도 조합을 달리하면 다른 모형을 만들 수 있듯이, 수학 문제도 같은 발상들이 반복해서 출제되지만 서로 조합을 다르게 하기 때문에 다른 문제들이 만들어지는 것입니다.

예를 들어, 역사적으로 발상 1~15가 반복돼서 출제된다고 해봅시다.

이때, 문제 A는 발상1, 발상 7, 발상 8을 조합해서 만들 수 있습니다.

반면, 문제 B는 발상 2, 발상 3, 발상 12를 조합할 수도 있죠.

이처럼 문제에 들어있는 발상 하나하나를 알고 있어야 전체 문제를 분석하는 능력 또한 기를 수 있습니다.

그래서 기출문제를 분석할 때에는 어떤 요소가 있는지, 즉, 어떤 발상들이 조합된 것인지 분석해서 그 발상들, 조건들을 하나하나 따로 분해해서 이해하는 것이 중요합니다.

230922 문항으로 한 번 더 예시를 들어보겠습니다.

위 문제를 ‘공부’한다고 할 때, 그냥 한 번 문제를 풀고 넘어가는 것만으로는 충분하지 않습니다. 문제를 분해하고 해체해서 하나하나의 발상별로 기억해둬야 나중에 다시 출제되었을 때 알아보기가 용이하기 때문이죠.

발상 1 : 함수 y=f(x)와 함수 y=-f(x) + 2f(t)는 직선 y=f(t)에 대하여 대칭이다. 쉽게 말해, 수직선 위의 점 (x)와 점 (2a - x)는 점 (a)에 대하여 대칭이다.

발상 2 : 삼차함수가 가질 수 있는 여러 가지 개형에 대해 알고 있는지에 대한 여부

발상 3 : 실근의 개수로 정의된 함수에 대한 해석법 (직접 h(t)를 그리는 것보다는 머릿속으로 t의 값을 변화시키며 개형을 상상하다가 값이 갑작스럽게 변화하는 부분을 캐치하기)

이런식으로 한 문제에도 얻어갈 요소들이 아주 많습니다.

하나의 문제를 복습할 때에도 이런식으로 어떤 요소들이 들어있는 것인지 하나하나 살펴보는 것이 중요합니다.

문제풀이 태도의 형성

문제에 어떤 요소가 있는지를 파악할 수 있고, 그 각각의 요소들이 어떤 발상인지 무슨 의미를 담고 있는지 알고 있다고 해서 문제가 해결되지는 않습니다. 그 각각의 발상들이 어떻게 연결되어 있는지, 어떻게 발상들을 사용해서 원하는 값을 구할 수 있는지를 생각해봐야 합니다.

문제를 풀면서 가장 기본적인 태도는 다음과 같습니다.

1. 풀이 설계 (구체적인 값은 생각하지 못하더라도, 일단 머릿속으로 먼저 어떻게 풀지 대강 생각하는 것)

↓

2. 수행 (머릿속으로 생각한 과정을 직접 그려보고, 계산해보는 것)

↓

3. 필요한 값 도출

문제를 보자마자 계산부터 하려고 하면 쉬운 문제는 바로 풀릴 수 있지만, 어려운 문제는 난관에 봉착할 것입니다.

미리 어떤 발상을 어디에 사용하고, 어떻게 풀어나갈지, 어떤 값을 구해볼지, 어떤 그래프 개형을 그려볼지 풀이를 설계한 다음에 수행해야 시행착오를 줄이고 문제 속 발상들을 더 긴밀하게 유기적으로 생각해볼 수 있는 것이죠.

물론 생각만으로는 직접적인 값을 구할 수 없습니다.

풀이 설계는 간단하게만 하고, 더 이상 진전이 없는 것 같으면 풀어보면서 값이 나와야 깨닫게 되는 경우도 있기 때문입니다.

이런 과정들을 시험장에 가서 바로 해도 괜찮지만, 시간이 촉박할 수 있기 때문에 저는 자주 나오는 유형별로 풀이 루틴을 미리 정해놓음으로써 시간을 절약할 수 있었습니다.

20240613 문항으로 예시를 들어보겠습니다.

*저작권 이슈로 문제 이미지는 제공하지 않습니다. 

먼저, 문제를 보고 어떻게 풀지 제가 기출문제를 통해 배웠던 여러 발상을 통해 설계를 합니다.

1. BC, CD, 각 BCD에 대한 정보를 줬으므로 BD를 구할 수 있겠군.

2. P₁P₂와 Q₁Q₂의 길이의 비를 주었으니까 미지수를 도입해서 3r, 5√2r로 나타내야겠군.

3. 각 BCD에 대한 정보와 Q₁Q₂에 대한 정보가 있으니까 사인법칙을 쓰면 CE의 반지름을 구할 수 있겠군.

4. 내분점 정보가 있으니까 CE를 통해 AE도 구할 수 있겠군.

5. P₁P₂와 AE 둘 다 r로 나타나는 식이니까 각 BAD에 대한 정보를 구하면 r이 약분되겠군.

6. 삼각형 BAD에서 코사인법칙을 사용하면 AB² + AD² 값을 구할 수 있고, 삼각형 ABD의 넓이를 통해서 AB × AD의 값을 구할 수 있으니까 곱셈공식을 이용하면 AB + AD의 값을 구할 수 있겠군.

실전에서 이정도까지 구체적으로는 설계할 수 없지만, 대충 어떤 값을 구한 후 어떤 값을 어떻게 구해야겠다 정도는 생각을 하고 계산을 하는게 훨씬 편합니다.

내신 수학과 수능 수학의 차이점

사실 저에게 내신과 수능의 괴리가 가장 적은 과목은 수학이었습니다.

서술형의 경우에는 별개지만, 객관식이나 단답형 문제를 풀거나 공부하는 과정은 같았으니까요.

내신 수학이 수능 수학과 다른 점은 선생님께서 미리 어떤 문제나 어떤 유형의 문제가 나올지 알려주실 수 있다는 점입니다.

물론 학교마다, 선생님마다 다르겠지만 선생님께서 주시는 연습문제나 프린트지에 실려있는 문제들은 굉장히 중요합니다.

수능에서는 정말 많은 기출문제를 공부해야 그 중 몇가지 발상이 조합돼서 나오는 수준이지만, 내신에서는 문제를 변형해서 나오는 경우가 많기 때문에 발상을 그대로 가져가거나 아니면 기껏해야 1개 또는 2개의 발상을 추가해서 문제를 내는 정도입니다.

따라서, 내신에서는 선생님께서 주신 자료들에 들어간 발상들을 정말 꼼꼼히 공부하고 이해하는게 중요합니다.

그리고, 서술형 문제를 풀 때에는 앞에서 언급했던 ‘미리 방향을 계획하고 풀기’가 굉장히 중요합니다. 생각이 정리되지 않은 상태에서는 풀이를 쓰기가 어렵기 때문입니다.

마무리하며

앞에서 계속 반복해서 언급했듯이 수학은 시험 전에 미리 알고 있는 발상이 많을수록 유리합니다.

게임에 비유하자면, 본래 게임실력이 좋은 것도 중요하지만, 아이템이 많을수록 더 게임이 쉬워지고는 합니다.

이처럼 수학도 기본적인 발상능력, 사고력이 좋은 것도 중요하지만, 꾸준한 학습을 통해 알고 있는 발상의 풀을 늘려나가는게 훨씬 중요하다고 생각합니다.

그러니, 하나의 문제를 풀더라도 문제 안에 어떤 요소가 있는지 꼼꼼히 해부해서 살펴보는 연습을 하시길 바랍니다. 문제를 풀 때 손이 먼저 가는 것이 아니라, 먼저 머리로 한 번 생각하고 푸는 습관을 들이는 것도 잊지 말아주세요.

다음에 더 유익한 칼럼으로 찾아뵙도록 하겠습니다.

긴 글 읽어주셔서 감사합니다. 항상 응원합니다!

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