(재수 첫날 찍었던 사진 ... 전 항상 책에 처음 푼 날이랑 마지막으로 푼 날을 적어두곤 했었어요)

안녕하세요! 중간고사를 망치고 치고 다시 돌아온 진진쌤입니다.

원래 영어 칼럼을 계속 연재 중이었는데 조금만 더 뒤로 미루고 ㅠㅠ,

오늘은 가장 수요가 많은 것 같은 수학 공부법 칼럼을 한 번 적어보려 합니다.

오늘 칼럼으로 커리큘럼, 개념 학습법, 심화 학습법, 선택과목 가이드 등등 

수능수학의 모든 요소를 한 번에 다 정리하도록 하겠습니다.

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제가 가장 힘들어 했던 과목은 당연 수학이었어요..

예체능 수포자에게 가장 좌절스럽고 힘든 벽이었죠.

재수 당시 8월 여름 깨지지 않는 88점의 벽 때문에

좌절하고 한 달 동안 누워서 잠만 잤던 기억도 있습니다.

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그렇지만 2-3년간 수학을 공부하고 극복해 나간 현재에서는,

오히려 수학이 가장 재미있고 자신 있는 과목이 되었습니다.

대학에서도 수학이 가장 성적이 잘 나오는 편이에요!

또 이렇게 약점을 극복해내는 경험을 하니 어느 정도 자신감도 쌓이더라구요

전 지금도 남들에 비해서 뒤쳐지는 것이 너무나 많다고 생각합니다.

외고 출신 유학파 출신 동기들은 다 영어 원어민 수준으로 척척 해내는데... 

강원도 감자돌이인 저만 영어 최하위 클래스 배정받고 이러구요 ㅜㅜ(문과기영ㄹㅈㄷ)

3년 전의 저라면 좌절하고 누워만 있었겠지만

지금의 저는 그러지 않고 다시 텝스 책 펴서 공부하고 있고 그렇답니다!

뭐든지 하기만 하면 어느 정도까진 올라갈 수 있다는 믿음과 자신감이 생긴 거죠.

뭐 계급사회니 교육격차니 이런 거 다 제껴두고,

옛날에 제가 그 친구들만큼 영어 공부를 하지 않았던 건 사실이니까요.

시련은 되도록 빨리 받아들이는 게 이롭답니다.

영어도 수학도 그런 것들 중 하나였던 거죠.

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간증은 여기까지 하고, 글이 길어질 것 같으니 어서 본론으로 들어가 볼게요!! 

저는 현역 당시 미적분으로, 6모 9모 수능 기준,

2(95) / 2(92) / 3(87) 등급을 받았구요

재수 당시 확통으로, 역시 6 9 11 기준,

1(96) / 1(99) / 1(98) 등급을 받았습니다.

목차

#Part 1  : 등급별 커리큘럼

#Part 2 : 올바른 개념공부와 문제풀이?

#Part 3 : 보너스 / 선택과목 픽 가이드(확통런!?)

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#1 등급별 커리큘럼

1) 노베이스 ~ 4등급 

저에게 수학 관련하여 가장 많이 들어오는 질문은,

'제가 4등급 이하이긴 한데 이미 개념을 한 번 이상 보긴 했어요. 그냥 뉴런 듣고 기출 풀고 싶은데 괜찮을까요? 남들 다 N제 푸는데 저만 진도 늦는 것 같아서 불안해요'

가 되겠습니다.

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딱 잘라서 단호하게 말하면 절대 안 된다는 것입니다! 안 돼요 안 돼. 우리는 아직 기초가 너무나 부족한 상황이랍니다. 

우리의 생각보다 수능수학의 교과서 개념은 더 방대하고, 깊습니다. 현재 4등급 이하의 등급대에 계신 분들은 본인이 생각하시는 것보다 더 개념을 모르고 오해하고 계실 가능성이 높습니다. 

'아 난 그렇지 않은데' 라는 자존심을 내려놓는 것부터가 공부의 시작이라고 생각합니다. 저도 당연히 그렇게 시작했어요. 짜증날지라도 지금은 개념서를 다시 정독하는 게 맞다고 생각합니다. 9모 다 끝나고 수능이 코앞인데 제가 이런 소리를 하는 것은 시기적으로 오류가 있을 수 있겠습니다만, 지금은 수능까지 많이 남은 상황이잖아요? 다시금 하나하나 수학의 기초체력을 쌓아나가야 합니다.

물론 불안하고 마음이 많이 안 좋을 수 있습니다. 노베이스 분들을 과외해 보면 그런 말씀을 많이들 하세요. 그렇지만 제가 하나 따끔하게 지적하고 싶은 것이, 공부를 우리가 안 했다는 것입니다. 솔직히 말하면 다른 학생들이 중학생 때부터 열심히 수학 공부 할 때 우리는 어떤 이유로든 하지 않았다는 건 부정할 수 없는 사실이에요. 그러니 지금부터 다시 쌓아나가야 하는 것 아닐까요? 전 그렇게 생각하는 편입니다.

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개념서와 함께 저는 시중의 내신 유형서를 병행하는 것이 가장 정석적이고 훌륭한 선택이라고 생각합니다. 또 하나의 가장 많이 나오는 질문.

'개념을 다 들었는데 기출문제가 안 풀려요'

을 해결해 줄 수 있는 가장 좋은 것은 바로 유형서로 진행하는 '문제 양치기' 가 되겠습니다. 내신 유형서는 2점 ~ 쉬운 4점의 다량의 문제들을 유형별로 정리해 놓은 구성입니다. 따라서 이 유형서를 회독하는 것만으로도 유형 암기 및 정리, 계산력 상승, 발상 정리, 개념의 확고한 이해를 모두 챙겨간다고 할 수 있습니다. 괜히 '개념 떼고 유형서 풀면 3등급 나온다' 라는 말이 있는 게 아니라고 생각합니다. 

유형서의 힘과 효능(?)을 간과하시는 노베이스 분들에게 꼭, 제 말을 한 번만 들어 보시라고 권하고 싶은 요즘입니다. 장담컨대 내신 유형서도 결코 쉽지 않을 것입니다. 답답한 것이 그 기초적인 문항들도 다 틀리면서 어떻게 기출 문제를 풀어내고 N제를 풀어내겠느냐는 것입니다. 공부를 어떠한 이유로든 못 했다면 지금에서라도, 책임을 져야한다고 생각합니다.

저도 고1 겨울방학 때부터 현우진 선생님 개념강의를 수강하면서 내신 유형서를 왁왁 풀었답니다. 고통스러웠죠. 하루 종일 수학만 했었습니다. 한 페이지 8문제를 풀면 5-6개씩 빗금이 쳐지더라구요. 그렇게 1년 정도 하다 보니 다음 해에는 기출을 풀 만한 실력까지 올라갈 수 있었어요. 

제가 성장 속도가 빨랐고 공부머리가 나쁜 편이 아니라는 건 물론 부정할 수 없는 사실이지만, 또한 어디 가서 자랑할 수 있을 만큼 이 시기에 열심히 했었다고 생각하는 바입니다. 제 짧은 인생 경력에서 유독 아팠던 해가 아니었을까 해요. 그러나 수능수학 1등급이라는 영광은 이런 상처 없이 낼름 먹을 수 있는 공짜 점심이 아니랍니다. 노력해야 하는 거죠.

(재수당시 뉴런 필기)

2) 3등급 ~ 2등급

이 정도 분들은 이제 어느 정도 잘 하시는 거라고 생각합니다. 더욱 더 예리해질 타이밍이죠. 유형서를 졸업해야 하는 타이밍입니다! 

이 시기에 기출문제와 실전개념(현T의 뉴런이 대표적이죠!)을 병행하며 슬슬 실전적인 수능수학으로 한 단계 상승하는 것이 중요하답니다. 

여기서 가장 중요한 포인트, 1등급을 뚫을 수 있는 가장 중요한 핵심은 '풀이의 일반화' 가 아닐까 합니다.

실전개념을 이해하고 암기하고, 기출 문제에 적용하기, 그리고 N제 등을 이용한 고난이도 문항 양치기라는 단순한 방식으로 1컷 아래까지는 정말 오히려 쉽게 달려갈 수 있습니다. 저도 재수땐 그냥 N제 다시 양치기하고 뉴런 복습하고 이러니까 1컷까진 나왔어요. 가장 재미나고 즐거운 과정이 이때라고 생각하는데, 그러나 분명 어느 수준까지 가다 보면 보이지 않는 벽에 막히는 것 같은 숨막히는 경험을 하게 되는 지점이 옵니다.

이럴 때 가장 좋은 파훼법이 바로 풀이의 일반화가 아닐까 싶어요. 이 시기부턴 모든 수학의 과정들을 다시 되돌아보는 '양보다 질' 구간을 거쳐야 합니다. 더 이상 와다다 문제를 푸는 것을 지양하고 체계적이고 모든 것을 자신의 컨트롤 하에 두면서 공부를 하는 것이죠!

아 이런 발문, 이런 조건에선 이 개념을 떠올려야 하는구나.. 계산량이 많아 보여도 내 발상에 오류가 없으면 때론 밀고 나가기. 항상 복잡한 극한식은 꼴 파악 후 수렴단위로 쪼개자. 수렴하면 계산하기... 한 직선 위에 점이 세 개 있는 상황? 아 항상 도형 문제에서 다 해도 뭐가 안 보일 때는 피타고라스 정리를 놓쳐선 안 돼...

이런 것들이 제가 8월에 책 다 던져놓고 정리했던 사고과정들입니다. 특정 조건과 상황을 개념과 풀이에 일대일대응 시키는 게임을 하는 것 같죠. 이처럼 본인만의 일반화된 문풀 태도를 정립하고 반복적으로 실행시켜 보세요. 이러면 자연스레 풀이 시간도 줄어들고 조금 더 효율적으로 지적 자원을 덜 소비해가면서 준킬러 구간을 뚫을 수 있을 것입니다. 

뭐든지 일반화와 단순화를 거치면 더욱 효율적으로 될 수 있는 거에요!

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#2 올바른 개념공부와 문제풀이?

수학 II의 '함수의 극한' 을 공부하는 상황을 예로 들어 기초개념을 어떻게 이해하는 지 살펴보시겠습니다.

제가 공스타에 올린 게시물을 잠깐 가져와 볼게요.

하하. 별 짓을 다하고 있었군요 저 때. 아무튼,

개념을 공부할 땐 하나하나 이해하고 받아적고 암기하고 꼭꼭 씹어먹고, 이건 너무 디폴트라 자세하게 더 이야기하지는 않을게요. 저는 여기서 머릿속에 더 개념을 오래, 그리고 더욱이 문제풀이와 관련된 방향으로 남기는 방법을 소개시켜 드릴까 해요.

앞에 사진을 보시면 알겠지만, 우리가 극한 문제를 풀때 극한식이나 그래프를 '관찰' 한다는 아이디어에서 출발한 것이에요. 우리는 항상 낯선 극한식이 나오면 잘 모르겠고 어색하고 그렇잖아요? 그래서 관찰을 시도하죠. 관찰을 시도할 때 꼴 파악을 할 수도 있고 계산문제라면 수렴하는 단위로 표현(줄여서 수단표! 라고 저는 이름을 붙여 놨답니다 이런 본인만의 상징화도 좋은 공부법이에요)할 수도 있겠네요.

이렇게 관찰을 하다 보면 아 이 극한식의 결과가 어떻게 되겠거니 하고 머리에 딱 예상이 꽂히죠. 그러나 수학은 그 어느 과목보다 항상 정확하고 엄밀해야 하잖아요? 당연히 '확인' 을 해야 하겠습니다. 여기서 확인은 그래프 혹은 식으로 할 수가 있겠죠. 확인 후 우리에게 남은 것은 계산 및 마무리가 되시겠습니다.

어때요. 개념을 배우면서도 문제풀이 테크닉 연습을 할 수가 있는 것이랍니다. 위처럼 정리를 해보면

관찰 -> 예상/추측 -> 확인(그래프? 식?) -> 계산산산

이런 본인만의 수학 체계와 구조를 개념 학습 때부터 가져가면 어떨까 싶어요. 영어 공부할 때 문법과 독해가 별개의 영역이 아니듯이 수학도 문풀과 개념공부가 사실은 그렇게 독립적인 항목이 아니랍니다. 단발적으로 개념을 하나하나 받아들이는 것을 넘어서서 개념 간 관계, 문제풀이의 구조, 해당 과목의 전체적인 체계를 머릿속으로 건설하시면서 나아가세요. 이렇게 수학 공부 하다보면 돌고도는 개념의 맞물림에 감탄도 해보고 문제 푸는 게 재밌다는 생각도 해보고 그럴 수 있지 않을까 싶어요!

문제풀이로 조금 더 넘어가 보면, 아까 제가 말씀드렸듯 풀이의 일반화, 그리고 핵심 아이디어 암기가 가장 중요하다고 보실 수 있겠습니다.

풀이의 일반화는 이제 얼추 감이 잡히시죠? 이런 식입니다. 어떤 조건에 어떤 사실관계를 당!연!히! 떠올리고 적용하고 소화해내기. 여기서 x가 무한대 그리고 0으로 가는 것에서 최고차항과 최저차항에 대한 아이디어를 떠올리는 것은 너무나 당연한 일반화 되시겠습니다. 그리고 여기서 더욱 중요한 것!

'자연수 n' 이라는 발문이 보이시나요? 여기서 다양한 아이디어를 암기한 학생들은 n = 1, 2, 3... 을 대입하면서 경향성을 찾아가야겠다는 생각을 과감하게 할 수 있습니다. 이건 마치 수리공의 공구함 같은 거에요. 더 많은 공구를 수리함에 챙겨서 가지고 다니는 수리공은, 더 다양한 상황에서 더 다양한 기계를 수리할 수 있습니다. 반면에 공구가 수리함에 별로 없는 수리공은 그러지 못하겠지요. 수학이 암기과목인 이유는 바로 여기에 있습니다.

다양한 문제풀이 경험 및 일반화를 갖추고 '자연수 n' 이라는 발문을 보면 실수나 정수에 비해 자연수가 더욱이 한정적인 수의 집합이고, 따라서 하나하나 대입해 볼 수 있겠다는 아이디어, 그리고 계속 나열해다가다 보면 일정한 경향성이 생길 거라는 귀납적 사고까지 모두 무리 없이 떠올릴 수 있겠습니다. 짬에서 나오는 바이브가 이런 거죠. 답지를 보고 풀이를 체득할 땐 그냥 풀이 과정 전체의 숫자를 달달 외우는 게 아니라, 이런 핵심 아이디어만 꿀꺽 삼켜서 효율적으로 외우는 것이랍니다.

수학에서의 문제풀이 공부는 이런 거라고 생각해요!

또 다른 하나의 키워드는 '정확한' 개념의 이해입니다.

우리가 연속함수를 많이 써먹다 보니 위 사진의 질문처럼 종종 lim의 의미를 무시하는 경우가 특히 많은 것 같습니다.

그리고 처음 개념을 학습하는 많은 학생들은 학습 초반부터 이런 오류를 안고 출발하기두 하구요.

항상 개념서나 인강 선생님, 현강 선생님의 정확한 가이드라인 하에 공부를 해야 합니다.

이런 개념의 누수 및 오해는 자칫 치명적일 수 있답니다.

이 부분은 너무 말씀 많이 안 드려도 다들 아실 테니!

스스로 주의하려는 태도만 가져가시면 좋을 것 같아요.

또한 이처럼 일반화된 문제풀이 공식이나 아이디어를,

때때로는 그 근원을 다시금 짚어보는 것도 훌륭한 공부입니다.

이 과정에서 개념의 누수나 무너졌던 수학의 체계를 다시 바로잡을 수도 있구요.

제가 정말 멋있다고 생각하는 선배님의 공스타를 본 적 있는데,

수능 며칠 전에 수II 교과서를 읽어보셨다고 하더라구요.

기초 교과서 개념이 서로 맞물리고 그것의 정확한 증명을 알게 되는 것이

마지막 시즌에 도움이 많이 되셨다는 서술을 하신 적이 있는데

그 말씀은 제가 지금 말하는 부분에 대한 하나의 하위 영역으로 작용할 수 있겠다는 생각이 듭니다.

이처럼 항상 근원과 본질을 지향하는 학습 태도는 정말 중요하겠습니다! 그리고, 특히 수학에서요!!!

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#3 보너스 / 확통런!?

도대체 6모 한 달도 안 남겨놓고 이 시점에 확통런을 왜 논하냐? 라고 비판하실 수 있겠지만

그래도 아직까지는 확통런에 관심있으실 분들을 위해 간략히 써 봅니다.

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우선 많은 분들이 확통과 미적의 표점 차이를 걱정하시면서 주로 질문을 하시는데요.

이 부분은 저는 확통 만점권이 아닌 이상 딱히 걱정해야 할 문제는 아니라고 생각합니다.

애초에 만점을 못 받으면 표점을 논하는 것은 상당히 의미없다라는 주의구요.

따라서 미적 27, 28 ,29, 30 중 3개 이상을 '고정적'으로  혹은 이번 6모에서 4개를 전부 틀리시거나 하는 분들은

지금에서라도 확통으로 넘어가는 것이 좋다는 생각입니다.

확통은 표점이 낮은 만큼 확실히 공부량이 적고 미적보다 용이한 편이 있습니다.

또한 '통계' 단원은 수능 수학에서 가장 쉬운 단원 중 하나라고도 감히 말할 수 있습니다(통계학이란 학문의 어려움을 생각해보면 참 아이러니하긴 합니다 ^^;;).

따라서 아 난 미적분 너무 어려워서 못해먹겠고 문과를 가도 상관이 없다! 하시는 분은 자신있게 확통 추천 드립니다.

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물론 이과를 가고 싶으시면 미적분을 하시는 게 '옳습니다'. 미적분을 하지 않고 이과를 가는 건 조금 말이 안 된다고 생각하는 바입니다. 미적분 안 하고 문과 오는 것도 말이 안 되는데 전자는 얼마나 말이 안 되는 것이겠습니까...

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또 표점차는 이제 '신경 쓸 필요 없다' 라고 주장하고 싶은데, 이는 표점차가 중요하지 않다는 주장이 아닙니다.

오히려 현행 수능의 불확실성이 너무 강해진 나머지 걱정 자체가 무의미 해졌다는 의미입니다.

이젠 어떤 과목이 어떻게 출제될 지 아무도 모르고 과목간 밸러스가 무너질 대로 무너진 상황입니다.

따라서 이번 수능에서 화작 만표 153 언매 만표 140 이런 상황이 발생한다고 해도 전혀 이상하지 않은 그런 지경까지 선택과목제가 온 상황이라고 생각합니다.

그래서 표점차를 신경 쓸 필요가 없다는 건, 확통을 픽했을 때 불리하지 않다는 게 아니라

어차피 어떤 과목을 고르든 재수 없으면 불리해질 수 있다 라는 아이러니에서 하는 주장입니다.

이젠 수능이 거의 뽑기 메타에 가까워졌다는 말씀입니다.

따라서 표점차는 이제 딱히 신경쓰지 않아도 된다는 의견을 전달하고 싶습니다.

24수능처럼 미-확 표점차가 극악해도 국어 표점으로 설경 다들 잘 뚫었구요

25수능처럼 5점차밖에 안 나서 확통 코인 대박나가지구 저처럼 잘 가는 상황도 있답니다.

정시를 선택한 이상 이런 불확실함의 리스크를 이젠 떠안고 가야 하는 시대랍니다 ㅜㅜ

뭐하다 이런 이야기까지 왔을까요? 아무튼 전반적으로 그러하다~ 하는 이야기랍니다!!

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정리하며

어땠나요? 이쯤 되면 저의 전반적인 수능수학에 대한 의견을 파악하실 수 있겠다는 생각이 드네요.

가장 중요한 건 극복할 수 있다는 믿음입니다.

전 재수를 망치면 절대 안 되는 상황이었어요.

학점 공쳐서 기숙사도 못 들어가... 엇학기 복학이 안 돼서 한 학기 강제 휴학 예정, 군대는 영영 미뤄야함, 다음 학기부터 비싼 등록금 자취비 그대로 내야 함, 과에 아는 사람 하나 없음...

이런 상황에서 친구들이 가끔 저에게 재수가 망하면 어떡하냐고 물었었어요.

저는 그때마다 '아 나는 근데 안 망해' 라고 말했던 기억이 있답니다.

물론 속으로는 절대 그렇게 생각 안했어요. 맨날 망하면 어떡하지? 하고 흔들렸죠.

그러나 입으로라도 매번 자신감 있으려고 노력했습니다. 그러면 한결 나아지더라구요.

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고3 겨울방학 때 친구한테 제가 그랬어요. '야 내가 수학 1등급 받으면 진짜 그건 인간 승리다'

전 현역당시 꿈도 못 꾸었던 1등급을 

재수 당시에는 거의 계속 유지했답니다.

저도 했는데 더 멋진 여러분들을 못할 게 없죠.

진진쌤은 항상 여러분을 응원합니다!!

빠른 시일 내로 제 근황과 함께 6모 전 무물보로 찾아올게요 ^3^

안녕!!

(가능한 한 질문은 공개댓글로 부탁드려용!)

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Lauryn Hill - Can't Take My Eyes Off Of You

https://www.youtube.com/watch?v=wVzvXW9bo5U