수험생 여러분 안녕하세요.

칸예 웨스트 내한공연이 갑자기 취소돼서 슬픈 메가스터디 목표달성장학생 21기 박수영입니다.

아니 이게 말이 됩니까? 제 생일날 하는 공연이라서 목빠지게 기다리고 있었는데 장난하냐고요 ㅠㅠ

오늘 제목인 <5월학평 28번을 논함> 은 사실 낚시입니다.

제대로 된 제목은 <5월 학평 기하 28번을 논함> 이거든요.

어그로 끌어서 미안합니다. 기하라고 적으면 다들 안 보고 넘길까봐 그랬습니다.

기왕 들어온거 추천이나 누르고 가 줘요.

다름이 아니라, 얼마 전에 질답을 받다가 5월 학평 기하 28번과 관련해서

‘혹시 출제오류가 아닌가?’ 하는 질문이 들어온 적이 있습니다.

이와 관련해서 수험생 여러분들께 도움을 드리고자 본 칼럼을 통해 설명드리고자 합니다.

아래는 이 문제가 출제오류라고 주장하는 의견이 담긴 영상입니다.

(https://www.youtube.com/watch?v=XZssb68v6_Y)

그럼 이제 해당 영상 속 풀이와 논리 과정을 살펴보도록 합시다.

이 문제에서는 네 선분 AB, BF, FP, PA로 둘러싸인 도형의 넓이가 최대가 되는 상황을 찾는 것이 목표입니다.

문제 상황에서 타원의 대칭성에 의해, 삼각형 OBF의 넓이는 삼각형 AF’O와 같으므로 찾고자 하는 넓이는 아래 그림의 빨간색 영역과 같다고 할 수 있습니다.

또한 BF+FP0+P0A의 길이조건을 변형하면 세 점 P,A,F’는 일직선 위의 점으로 볼 수 있습니다.

(이 부분은 이전에 올린 5월학평 기하 손해설 칼럼을 참고해주세요.)

이때 영상 속에서는 이러한 의문을 제기하십니다.

“아니 그렇게 되면, 저 색칠한 영역인 삼각형 PF’F의 넒이는 P의 y좌표가 가장 클 때 최대가 되는데, 이 경우 AB의 길이는 타원의 단축보다 짧아야 하므로 모순 아닌가?”

라고 말이죠.

이상이 영상 속 의문 제기의 과정이었고, 이제 제 의견을 말씀드리도록 하겠습니다.

일단 제 결론부터 말씀드리자면, 이 문제는 아무런 출제오류가 없습니다.

그럼 지금부터 위의 풀이가 놓친 부분이 무엇인지, 왜 그렇게 생각하면 안 되는지를 떠올려봅시다.

아래의 논리 과정들은 꼭 기하 선택자뿐 아니라 수학 공부를 하시는 수험생 전반에 도움이 될 만한 내용이므로, 지나가듯이 한 번쯤은 봐주시면 감사하겠습니다.

1. 변수와 상수를 명확히 구분하자.

해당 영상에서 대칭성을 활용해서 색칠된 부분의 모양을 바꾼 것까지는 좋고,

그 다음으로 주어진 길이조건을 활용해 이 도형을 삼각형으로 바꿔놓은 것 까지도 좋았습니다.

근데 그렇다고 해서 갑자기 삼각형 PFF' 전체를 변수로 취급해서 움직이며 풀이하는 것은 상당한 논리적 비약이 있습니다.

위에 첨부한 그림을 보면 알 수 있듯이, 이 문제에서 삼각형 AFF'은 '상수', 삼각형 PFA는 '변수' 입니다. 이 상황에서 상수와 변수를 하나로 뭉뚱그려서 취급하는 것은 논리적으로 말이 되지 않으며, 별개의 대상으로 취급해야 합니다.

이 시점에서 해당 풀이는 명백한 모순을 내포하고 있는 셈이죠.

다만, 이 경우 자주 들어오는 반박으로 이러한 질문이 있습니다.

2. 왜 A, B는 동점이 아니라 정점인가?

“아니 멘토님, 문제에서 점 A와 B가 동점인지 정점인지 제시가 되어있지 않은데 그걸 어떻게 알란 말이죠?”

맞습니다. 이 문제에서는 점 A, B가 그냥 점이라고만 했지, 동점인지 정점인지는 명백하게 제시하지 않았습니다.

그렇다면 점 A, B를 동점이라고 생각하고 푼 위의 풀이가 과연 맞을 수도 있을까요?

제 생각은 조금 다릅니다.

이 문제의 3~4번째 줄 문장을 잘 보시면,

‘도형의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 P’ 라고 써놓았습니다.

만약 점 A와 P 모두가 고정되어있지 않은 동점이었다면 최대가 되는 상황의 A, B, P를 전부 따로따로 문제에서 지정해뒀겠죠. 하지만 발문을 보면 오직 점 P만을 가리키고 있습니다.

즉 이는 발문에 명시되어있지는 않지만, 은연중에 A,B는 정점이며 움직이지 않고, 오직 P만이 움직이는 동점이라고 명시해 둔 셈입니다.

3. 출제오류 시비의 근본적인 원인은 무엇인가?

그럼 문제 풀이 자체의 논리 과정은 무엇이 잘못되었는지 알아봤으니, 과연 왜 이런 의문이 제기되는 것인가? 를 알아보도록 합시다.

분명히 같은 문제, 같은 조건인데도 불구하고 왜 이런 식으로 풀었을 때는 논란이 생길 만 하다가, 다른 방식으로 풀었을 때는 아무런 문제가 없다고 느꼈을까요?

결론부터 말하자면, 이는 '수학 문제를 만드는 출제자의 의도' 와 매우 밀접한 관련이 있습니다.

이 문제에서 가장 핵심이 되는 조건은 다음의 두 가지입니다.

1. '네 선분으로 둘러싸인 도형의 넓이는 최대가 된다.'

2. '점 F', A, P는 일직선상에 존재한다.'

출제자가 조건을 배열한 순서는 1, 2번입니다.

이때 원래 풀이의 의도를 따라가자면, 출제자는 1번 조건으로 그림의 상황을 파악하는 '해석의 조건'을 주었고, 이어서 타원의 정의와 방정식 계산을 주기 위한 '계산의 조건' 으로서 2번 조건을 제시한 셈입니다.

하지만 위의 풀이에서는 이 순서를 뒤바꿨죠. 2번 조건을 '해석의 조건' 으로 취급해서 문제를 풀다 보니 출제자의 의도와 맞지 않는 풀이가 되었고, 그 과정에서 해석의 오류가 생기면서 풀이가 삼천포로 빠지게 된 것입니다.

4. 이런 일이 생기지 않기 위해서는...?

이 문항의 경우는 기하였기에 그렇게 문제가 커지지는 않았지만, 생각보다 여러분들은 수학문제를 풀면서 이러한 경험을 많이 마주하셨을지도 모릅니다.

분명히 나 스스로는 문제를 잘 풀었다고 생각했는데, 어디선가 삼천포로 빠져서 풀이가 180도 달라져버리고 틀리는 경험 말이죠.

이러한 문제를 없애기 위해서는, 근본적으로 수학 문제를 대하는 관점 자체에 집중해야 합니다.

수학 문제를 풀 때는 단순히 감으로, 기억으로, 이거저거 되는대로 수식을 써보면서 아무렇게나 푸는 것은 그다지 도움이 되지 않습니다. 대신 조건의 순서와 배열 등에 맞춰서 논리적으로 '당위성' 을 따져가며 푸는 것이 생각보다 엄청 중요합니다.

'이 발문의 수학적 의미는 뭐지? 주어진 상황과 내가 배운 교과서적 개념을 바탕으로 생각해 보자.'

'이런 문장은 이런 의미를 가지고 있군. 그럼 다음 문장을 통해서 이를 유기적으로 연결하고 문제를 풀어보자.'

와 같이, 수학 문제를 단순히 계산식 때려맞추고 하는 것이 아니라, 발문과 조건을 제대로 '읽고', 출제의도와 논리적 단서의 흐름을 파악해서 출제자가 의도한 대로 풀이를 따라가는 것이 합리적으로 수능 수학을 잘 풀 수 있는 방법입니다.

이 과정에서 여러 가지 발문에 대한 태도정립과 문장단위의 독해 연습을 하면서 논리적으로 문제를 대하고 풀이를 떠올리는 연습을 하는 것이 아주 많은 도움이 될 겁니다.

읽어주셔서 감사합니다.

많은 댓글과 좋아요는 멘토 활동에 큰 힘이 됩니다.

그럼 다음 칼럼에서 뵙겠습니다. 좋은 결과가 있길 바랍니다.

<오늘의 추천곡>

Fishmans- Baby Blue

일본 인디 밴드의 전설 '피쉬만즈'의 대표곡입니다.

슬슬 여름이 가까워지는게 느껴지는 요즘 산책하면서 정말 듣기 좋은 노래입니다.

놀랍게도 저 여리여리한 보컬이 여자가 아니라 남자였다는 사실...!

Jamie XX , Honey Dijon -  Baddy On The FLoor

영국의 일렉트로닉 음악 뮤지션, DJ인 제이미 XX의 2집 앨범 수록곡입니다.

1집 앨범보다 훨씬 댄서블하고 밝은 사운드가 특징인 이 앨범에서도 가장 신나고 흥겨운 사운드가 특징이죠.

요새 점심마다 서울대를 한 바퀴 러닝하곤 하는데, 그때마다 거의 항상 듣는 노래입니다.

이세계아이돌 - Stargazers

이세계아이돌의 5집 앨범입니다. 불과 며칠 전 발매되었습니다.

다 필요없고 그냥 많이 들어주세요. 부탁입니다 킹애