안녕하세요.

성균관대학교 의예과 25학번, 메가스터디 목표달성 장학생 21기 류성준입니다.

2022-2025 사관학교 수학영역 수2 문제 중 좋은 문제들을 선별하여 문제지를 구성해보았습니다.

중-상 난이도 문제이고, 수2 킬러 주제들을 정리하여 구성하였으니

9월 모의고사 이전에 시간을 내어 문제를 풀어보고

풀이/해설을 참고해보길 바랄게요!

풀이작성완료 :)

1번

전형적인 미분가능성 문제입니다.

일단 (가) h(x)가 미분가능하니 당연히 h(x)는 연속이어야 겠지요.

(나) 에서 h(x)가 일대일 대응이라고 했으니 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수의 양 끝은 증가만 하므로 h(x)는 증가함수가 되어야 할 것입니다.

g(x)는 (-1,f(-1))과 (a,f(a))를 지나는 직선이라고 했는데

우선 x=-1에서 미분가능하려면, 당연히 g(x)는 x= -1에서 f(x)의 접선이어야 겠지요.

따라서 a는 이 접선과 삼차함수가 만나는 (-1.0)이 아닌 점의 x좌표 일 것입니다.

삼차함수의 세 실근의 합이 일정함을 이용하여, 만나는 점의 x좌표(k)를 구할 수 있습니다.

그런데 x>a에서 h(x)는 f(x)를 x방향으로 +m, y방향으로 +n만큼 평행이동한 함수입니다.

따라서 x=a에서도 미분가능해야 하므로, 해당 함수는 x=a에서 미분계수가 x=-1과 같아야합니다.

(나)에서 h(x)는 증가함수가 되어야 함을 알 수 있었기에

결국엔 (1.0)이 A(2.6)으로 평행이동되어 옮겨진 것으로 생각 할 수 있습니다.

따라서 m=1,n=6이 됩니다.

m+n=7

2번

1번 문제와 같은 유형의 문제입니다.

이 문제 역시 미분가능성을 묻고있고, 

f(x)와, f(x)를 x방향으로 +p, y방향으로 +3p만큼 평행이동 한 f(x-p)+3p 가 주어집니다.

우선 문제에서 최고차항 계수가 1이고 f’(0)=f’(2)=0 이라고 하였으므로

f(x)의 그래프 개형이 정해지고, 조건 하나만 더 찾으면 f(x)가 결정됩니다.

우선 y=x를 그려보며 가능한 케이스를 찾아봅시다.

(y=x와 세점에서 만나는 경우)

(y=x와 접하는 경우)

아래의 경우는 위와 같은 논리로 *이 생기기에 불가능합니다.

(y=x와 한점에서 만나는 경우)

같은 논리로, 아래서 y=x와 만나는 경우는 불가능합니다.

따라서 f(x)와 y=x가 위에서 한점과 만나는 경우가 가능함을 알 수 있습니다.

변곡점의 x좌표가 1이므로, y=x와 만나는 점의 x좌표를 1+k로 둘 수 있고

이 점과 미분계수가 같은 점의 x좌표는 1-k가 됩니다.

또한 이 두 점의 y좌표 차이는 6k가 되겠죠.

(왜냐하면 평행이동을 (+p,+3p)만큼 하였기에 1-k > 1+k x좌표가 2k만큼 증가하였으니, y좌표는 6k만큼 증가하였다고 할 수 있습니다. (기울기가 3인 직선을 따라 평행이동하였다고 볼 수 있죠 ) )

f(x)식을 세워봅시다. 식을 세우는 방법이 여러 가지가 있겠지만

저는 한 직선을 가정하여 이 직선과 엮어 식을 작성해보겠습니다.

팁

직선을 세워 f(x) 식 세우기

f(x)위의 세 점을 지나는 직선을 세워볼 수 있습니다. 

(1.1-2k)를 지나고, 기울기가 3인 직선은 y=3(x-1)+1-2k 가 됩니다.

따라서 이 직선과 엮어서 f(x)식을 작성할 수 있고, f’(0)=0을 풀면 k가 결정됩니다.

3번

구간별로 정의된 함수가 주어졌습니다.

f(a) + lim x>0+ f(x) = 4를 만족시키는 실수 a의 개수가 4개라고 주어졌습니다.

이 식을 만족하려면

1) f(x)가 연속인 경우 > f(a)=2 면 위의 식을 만족합니다.

2) f(x)가 불연속인 경우 > 함숫값과 우극한이 다르고, 합이 4가 되어야 합니다. 

(직접 계산해보아야 겠네요.)

우선 x=<2 에서는 f(x)=x^2+1로 주어졌으므로 x^2+1=2를 풀어

x=1,-1을 구해줍니다. 

그럼 나머지 a가 2개 더 등장해야하는데

x>2에서는 직선이기 때문에 많아야 한 개, 다른 경우로는 만나지 않을 것입니다.

그렇다면 x>2에서 f(a)=2인 a가 한 개(최대) 존재하고,

x=2 에서 불연속이 되어 함숫값+우극한=4가 되는 경우밖에 가능하다는 것을 알 수 있습니다.

따라서 a는 1,-1,2,6 (합이 8임을 이용) 임을 알 수 있고.

이를 이용해 연립방정식을 풀면 답이 나오게 됩니다.

4번

방정식의 해와 극한 문제입니다.

해당 방정식을 풀면 f(x)=t, f(x-1)=t 의 근이 위의 방정식의 해가 됨을 알 수 있습니다.

만약 f(x)=t의 근이 a라면, f(x-1)=t의 근이 a+1이 되는 구조임을 알 수 있죠.

우선 문제에 따라 f(x)와 f(x-1)을 0=

t=2부터 t값을 줄여가며 g(t)를 관찰해봅시다.

2>t>0에서는 g(t)가 1부터 3까지 연속적으로 증가함을 알 수 있습니다.

t=0일 때에서 g(t)는 3이 되네요.

그러나 t<0이 되는 순간, g(t)는 1이되고

0>t>-6에서는 1부터 3까지 증가함을 알 수 있습니다.

따라서 a=0이라는 것을 알 수 있고, 문제에서 구하는 값을 구할 수 있습니다.

5번

사차함수 f(x)라고 주어졌습니다.

(나)부터 보면, xf’(x)>0을 만족시키는 x값의 범위는 1

좌표평면을 그려 xf‘(x)가 존재할 수 있는 영역을 표시해줍니다.

팁

좌표평면에 함수가 존재할 수 있는 영역을 색칠해두는 것은 문제 상황을 시각적으로 이해하는데에 큰 도움이 됩니다.

xf’(x)는 사차함수이고, x=0을 근으로 갖습니다.

그런데 x=0에서 부호변화가 없어야 함을 알 수 있고 (아래서 접해야함)

사차함수 그래프의 개형이 결정됩니다.

이후에는 (가) 조건을 이용하여 최고차항과 상수항을 결정해주면 됩니다.

6번

f(x)는 이차함수입니다.

g(x)=x|f(x)| 라고 주어졌습니다.

g(x)를 더 똑똑하게 해석해봅시다.

x * |f(x)| 의 부호는 x의 부호를 따라갑니다. ( |f(x)|>=0 이니까요. )

따라서 g(x)를 그릴때에는 xf(x)를 그린 후 x<0에서는 음수부분에, x>0에서는 양수부분에만 그려지도록 접어주면 되겠죠?

g(x) 해석이 끝났으니 (가) 조건을 해석해줍니다.

또 낯선 극한이 등장했네요. 0/0꼴, 미분계수 형태일테니 쫄지 말고 차근차근 해석해보면 됩니다.

위 극한이 “양의 실수”로 “수렴”하는 t가 1개라고 합니다.

우선 어떤 경우에 수렴하는지 살펴봅시다.

분모가 0으로 가니, 분자도 0으로 가야 수렴할 것이고, 따라서 t=k 에서 수렴한다고 하면, g(k)=0이 되어야 함을 알 수 있습니다.

수렴조건을 살펴보았으니 극한식을 해석해 봅시다. 

g(k)=0인 k에 대해서는, 해당 극한식을 미분계수 형태로 볼 수 있고, 미분계수 형태에 맞추어 정리하면 극한식의 의미가 (g우극한)*(-g좌극한) 이 됩니다. 

(오른쪽 극한 부호 주의!! 괄호 안이 t-h 이니, 분모도 -h로 맞춰야합니다.)

이것이 양수로 수렴하는 경우를 찾는 것이니

(g우극한)*(g좌극한)<0 을 만족하는 t가 한 개 존재한다는 것이지요.

정리하자면 g(k)=0, g’(k+)*g’(k-)<0을 만족하는 k가 한 개만 존재한다는 것입니다.

(나)는 합성함수의 방정식 풀이입니다.

수2에서 합성함수 방정식이 등장하면, 무조건 치환해서 풀어야합니다.

절대 합성함수 그래프 그릴 생각 하지 말도록 합시다.

팁

수2에서의 합성함수 방정식은 치환해서 풀기

g(x)를 A로 치환한 후 A^2+4A=0을 먼저 풀어줍니다.

A=0,-4 가 근으로 나오므로 결국 g(x)=0,-4의 근이 4개임을 알 수 있습니다.

(f(x)가 x축과 0이 아닌 두점에서 만나는 경우)

(나) 조건은 만족하지만, (가)의 극한식을 만족하는 t가 2개 생기기 때문에 모순입니다.

(접하는 경우)

만족하지 않습니다.

(0과 다른 한 근을 지나는 경우)

양근을 가지는 경우에는 (나)조건을 만족하지 않습니다.

따라서 음근과 0을 지나는 경우임을 알 수 있고, y=-4와 접하는 경우 (나)를 만족함을 알 수 있습니다.

삼차함수의 비율관계를 이용하여 f(x) 식을 세우고, xf(x)의 극대가 4임을 풀면 k가 결정됩니다.

7번

f(x)=x^2-2x, g(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수, h(x)는 연속함수입니다.

(가)에서는 h(x)=f(x) or g(x) 라고 합니다.

즉 f(x) 그래프와 g(x)를 그래프로 연속하게 번갈아가며 선택한 함수가 되겠습니다.

(나)에서는 h(k)*h(k+2)=<0 인 k가 3개라고 합니다.

즉 h(k)*h(k+2)=0 or h(k)*h(k+2)<0 을 만족하는  실수 k가 3개라고 주어졌습니다.

문제에서 h(10)>80 이라고 주어졌는데

f(10)=80이기에, x=10 이전에서 한번 g(x)가 선택되어서 

h(x)가 x=10 근방에서는 g(x)로 선택되었다는 것을 알 수 있겠네요.

우선 f(x)를 그려봅시다. 

여기서 예시를 들어보며 한가지를 깨닫는 것이 중요합니다.

이 문제에서의 k는 실수입니다. 

만약 부등호을 만족하는 k가 존재한다면

k보다 약간 작은... k보다 약간 큰... 다른 k가 무한개 존재하게 되므로

조건을 만족할 수 없습니다.

따라서 등호가 성립하는 k가 3개임을 알 수 있습니다.

팁

등호가 포함된 부등식은 등호와 부등호를 나누어 생각해보기

낯선 조건은 예를 들며 해석해보기

그런데, h(x)=0의 근 하나당 등호를 만족하게 되는 k가 2개씩 생기는 것을 알 수 있습니다.

문제에서는 k가 3개라고 했으니

h(x)=0의 근이 두개인데

총 네개의 k중에 두 근이 중복되는 경우임을 생각할 수 있습니다. 

> 따라서 2만큼 차이나는 두 근을 가짐을 알 수 있고 x=0,x=2를 지나는 h(x)를 생각 할 수 있습니다.

(0

부등식을 만족하는 k가 존재하지 않아야하기에 색칠된 부분(부호)에 함수가 그려져야 하는데

이를 만족하는 경우는  -3부터 2까지 h(x)를 정적분 한 값이 26일 수 없으므로, 가능하지 않음을 알 수 있습니다.

(0

문제상황에 맞는 케이스임을 알 수 있습니다.

-3부터 2까지 h(x)를 정적분 한 값이 26입니다.

-3부터 0까지 f(x)의 정적분 값은 18이니, 삼차함수를 0부터 2까지 정적분 한 값이 8이다를 풀면 되겠습니다.

팁 

지난 시간, 사관학교 22번 풀이에서 보여드린 대칭성 적분을 이용하면 빠르게 적분할 수 있어요.

h(1),h(6),h(9)를 구하면 됩니다.

8번

구간별로 정의된 g(x)가 주어졌습니다.

x<0에서는 g(x)=f(x), x>=0에서는 g(x)=a-f(-x)입니다.

a-f(-x) 는 f(x)를 (0.a/2)에 대해 점대칭 한 함수임을 알 수 있습니다.

팁

평행이동,대칭이동 관계는 미리 알아두고, 바로바로 보이도록 익숙해지는게 좋습니다. 

(가)조건에서 극한식이 수렴하므로, g(0+)=g(0-)=g(0)이고 ( g(x)가 x=0에서 연속 )

극한 값이 -4이므로, g’(0)=-4가 됩니다.

두 함수는 (0.a/2)에 대한 점대칭 관계이므로, g(0)=a/2가 되고 ( 연속조건 )

(나)조건에 의해 f(x)의 극댓값은 a가 됩니다.

이후에는 최고차항 계수와 f’(0)=-4, f(0)=a/2를 이용하여 식을 세우고

극댓값=a를 풀면 a값이 결정됩니다.

이후에는 구하는 값을 계산하면 됩니다.

9번

f(x)는 최고차항 계수가 -1인 사차함수입니다.

(가) 조건에 의해 f(x)의 개형이 결정됩니다.

(나) 조건에서 새로운 함수 g(t)를 정의해줍니다. 

낯선 함수가 등장하면 값을 하나씩 대입하며 함수의 의미를 찾아보면 됩니다.

팁

낯선함수가 정의되었을 때에는 값을 대입하며 의미를 살펴보기

t=1일때 g(t)를 알아봅시다. [0.2]에서 f(x)의 최댓값이 g(1)이라는 의미네요.

g(-1)은, [-2.0]에서 f(x)의 최댓값을 의미합니다.

그런데 -1=인 모든 실수 t에 대해 g(t)=g(1)이라고 했으니

간격이 2인 구간이 [-2.0]부터 연속적으로 [0.2]까지 변하면서, 최댓값이 일정하다는 것입니다.

x<3 에서는 극대가 하나 존재합니다.

만약 길이가 2인 구간 내에 양끝에 극대가 없으면서, 증가하거나 감소하는 부분만 포함하게 된다면 

최댓값이 변하기 때문에 모순이 됩니다.

따라서, 극댓값이 최대가 됨을 알 수 있고

t=-1,t=1일 때 구간에서 공통적으로 포함되는 x=0 이 극대가 됨을 알 수 있습니다.

대칭성을 이용하여 식을 세워주고, f(2)=0을 풀어주면 f(x)가 결정됩니다.

10번

속도와 가속도 단원 문제입니다.

평소에는 3점문제로 가볍게 출제되나

어렵게 출제될 경우 시간을 많이 잡아먹을 수 있는 유형이기에

평소에도 고난도 문제를 풀며 정리해두어야 합니다.

t=0~t=k 동안 점 P가 움직인 거리를 s(k), 위치의 변화량을 x(k)라고 정의했습니다.

우선 위치의 변화량(변위)와 움직인 거리(이동거리)의 차이를 정확히 알아야합니다.

수학2 교과의 경우, 수직선 위에서의 운동만을 다룹니다.

즉 +방향, -방향 두 방향만 존재하죠.

만약 점 P가 +방향으로 10만큼 움직이고 다시 -x방향으로 10만큼 움직인 경우를 생각해봅시다. 

이 경우 위치의 변화량(변위)는 0입니다. 왜냐하면 나중위치-처음위치=0 이니까요.

그러나 움직인 거리(이동거리)는 20이 됩니다.

이것을 정리해보면 +방향 > -방향 운동을 하는 경우에는 

(움직인 거리 – 위치의 변화량) 은 -방향으로 움직인 거리의 2배가 됨을 알 수 있습니다.

(가)에서 0=이면 s(k)-x(k)<8이라고 하였고

(나)에서는 3=이면 s(k)-x(k)=8이라고 해주었습니다.

즉 k가 3보다 작을때까지는 s(k)-x(k)는 8보다 작았지만

k=3이 되는 순간부터 s(k)-x(k)가 8이 되므로

t=3부터 점 P가 다시 +방향으로 이동한다는 것을 알 수 있고

이후에는 운동방향이 변하지 않아야 함을 알 수 있습니다.

위의 정리에 따르면 s(k)-x(k)=8이라는 것은 

-방향으로 4만큼 이동하였다는 것이니, 그래프에서 아랫부분 면적이 4가 됩니다.

팁

직선으로 둘러쌓인 면적을 구할 때에는 정적분보다는 삼각형의 넓이를 이용하자

삼각형의 넓이를 구하면 a값이 나오게 됩니다.

따라서 b의 값도 구할 수 있고

t=1~t=6 동안의 P의 위치의 변화량은 그래프를 정적분하여 넓이를 구해주면 됩니다.

11번

f(x)는 일차함수이고, g(x)를 정적분으로 정의된 함수로 정의하였습니다.

적분변수가 s이므로, (x-2)를 분리해준 뒤 관찰 할 수 있습니다.

우선 g(x)는 3차함수 임을 알 수 있습니다.

X=2,x=0을 대입하면 우항이 0이 되므로, g(0)=g(2)=0 임을 알 수 있습니다.

새로운 함수 h(t)가 등장했습니다.

직선 y=tx와 y=g(x)의 교점 개수를 h(t)라고 정의하였습니다.

즉 3차함수 g(x)와 원점을 지나고 기울기가 t인 직선과의 교점개수를 관찰하여야 겠네요.

한 직선과 삼차함수의 교점개수가 변화하는 지점은 접하는 지점 밖에 없습니다.

결국 접선과 삼차함수 관계를 묻는 문제라는 것을 알 수 있습니다.

또한 삼차함수 위의 점에서 삼차함수에 그은 접선은 두개 뿐이라는 사실을 알고 있습니다.

아래 조건에서 g(k)=0인 k에 대해 h(t)는 t=-k에서 불연속이라고 하였습니다.

우선 k값으로 0,2가 주어졌으므로, y=0과 y=-2x를 그려서 관찰해봅니다.

두 직선은 원점을 지납니다. 또한 삼차함수 또한 원점을 지납니다.

즉 (0.0)은 삼차함수 위의 점입니다.

문제에서는 (0.0)에서 삼차함수에 접선을 그은 경우 

해당 접선의 기울기(t) 에서 불연속이 생김을 알 수 있는데, 이미 직선 두개가 보장된 상태입니다.

즉, 만약 0,2가 아닌 근 a가 추가로 생긴다면, t=-a에서 h(t)가 불연속이 될 수 없습니다.

따라서 g(x)는 x=0 또는 x=2에서 접하는 경우임을 알 수 있고

(0.0)에서 그은 두 접선이 y=0, y=-2x가 되어야 함을 알 수 있습니다.

따라서 가능한 경우는 두가지가 나오고, y=0(x축)과 엮어 식을 작성해주면 됩니다.

(왼쪽의 경우에는 실근의합=2 를 이용하면 접점의 x좌표인 k값이 빠르게 나옵니다)

12번

발문의 조건으로 4가지의 가능한 f(x) 개형이 그려집니다.

(가)조건에 의해 그 중 2가지 경우가 걸러지고

(나)조건에서 n=1을 넣어서 관찰해보면, 한 가지 개형만 가능하다는 것을 알 수 있습니다.

1. (나)의 부등식을 간단하게 보기 위하여 각 변에서 n을 빼는 것

2. n을 0부터 n까지 1을 정적분 한 값으로 생각하는 것 ( 혹은 n = 가로가 n, 세로가 1인 직사각형의 넓이로 생각)

3. 마지막 적분 계산 시에 적분구간을 평행이동하여 계산을 간단히 하는 것

외에는 아래의 손풀이사진 에서 어려움을 느낄 부분은 없다고 생각하여 따로 글로 풀이하진 않고

풀이과정만 사진으로 남기도록 하겠습니다!

이해 안되는 부분 댓글로 남겨주시면 저녁시간부터 순차적으로 답변해드릴게요!