메가스터디

안녕하세요, 22기 목표달성장학생 한양대학교 의예과 곽민지입니다.

오늘은 저번 탐구 과목 공부법에 이어, 수학 과목 공부법에 대해 다루어 보고자 합니다.

수학은 많은 학생들이 가장 큰 부담을 느끼는 과목 중 하나입니다. 저 역시 수험생활 동안 수학 때문에 고민했던 순간이 많았고, 성적이 잘 나오지 않을 때는 공부 방향에 대해 여러 번 고민하기도 했습니다. 이번 칼럼에서는 제가 실제로 수험생활 동안 실천했던 수학 공부법과, 성적 향상에 도움이 되었던 습관들을 중심으로 이야기해 보겠습니다. 

모든 기준은 평가원 기출 

위 사진은 제가 기출문제를 풀면서 정리했던 풀이노트의 일부입니다. 문제 자체를 푸는 것도 중요하지만, 저는 평가원 기출 문제를 통해 어떤 사고 과정을 연습할 수 있는지를 더 중요하게 생각했고, 그 내용을 정리해 두었습니다. 

이 문제에서 가장 먼저 눈에 들어오는 조건은 함수 (g(x))가 실수 전체에서 미분 가능하다는 것입니다. 함수가 구간에 따라 다르게 정의되어 있으므로, 자연스럽게 경계점인 (x=b)에서 연속성과 미분 가능성을 확인해야 한다는 생각을 할 수 있습니다. 

복잡한 식을 제시하더라도 결국 특정 조건 하나를 해석하는 것에서 시작되는 경우가 많습니다. 따라서 저는 처음부터 계산에 들어가기보다 (x=b)에서의 연속 조건과 미분 가능 조건을 먼저 적었습니다. 

미분 가능 조건을 적용하면 [f'(b)=-f'(b-c)]를 얻을 수 있습니다. 여기서 저는 곧바로 계산을 진행하기보다 (f'(x))와 (f''(x))를 분석해 함수의 형태를 파악하려고 했습니다.

(f''(x))를 계산해 보면 인수분해를 통해 (x=0), (x=1)에서 중요한 변화가 발생한다는 것을 알 수 있고, 이를 바탕으로 (f'(x))의 개형을 추론할 수 있습니다. 저는 실제 시험장에서 이런 문제를 풀 때 식만 바라보기보다 간단하게라도 그래프를 그려 보는 편이었습니다. 그래프를 그려 보면 (f'(1)=-f'(0)) 관계가 자연스럽게 성립한다는 점을 발견할 수 있고, 결국 (b=1), (c=1)임을 추론할 수 있습니다.

이후에는 연속 조건인 [f(b)=-f(b-c)] 를 이용하여 (f(1)=-f(0))을 세우고, 이를 통해 상수 (a)를 구할 수 있습니다. 

제가 이 문제를 예시로 가져온 이유는 문제가 크게 어려운 것은 아니지만, 꼭 해야만하는 풀이 과정들이 많이 담겨있는 문항이기 때문입니다. 많은 학생들이 어려운 문제를 만나면 무엇부터 해야할지 모르는 경우가 많지만, 이 문제에서 출제자가 사용하라고 만든 조건이 무엇일까?를 찾는 것이 중요합니다. 이 문제 역시 미분 가능성이라는 핵심 조건을 중심으로 사고를 전개하면 계산량은 생각보다 많지 않습니다. 

저는 수험생활 동안 어려운 문제를 풀 때마다 정답보다도 어떤 조건이 핵심이었는가, 왜 이 발상이 나왔는가를 정리하려고 노력했고, 이러한 습관이 고난도 문제 대응 능력을 키우는 데 큰 도움이 되었습니다. 중요한 기출문항은 위 사진처럼 정리해두고 자주 읽어보았습니다. 

그럼에도 필요한 사설 

기출문제를 통해 사고 과정을 익혔다면, 다음 단계는 이를 새로운 문제에 적용해 보는 것입니다. 기출을 풀면서 정리했던 사고 과정을 사설 문제를 풀면서 의식적으로 사용해 보았습니다. 기출과 동일한 문제가 출제될 가능성은 매우 낮지만, 문제를 바라보는 관점과 발상은 새로운 문제에서도 반복되는 경우가 많습니다. 예를 들어 함수 문제가 나왔을 때 조건을 먼저 분석하는 습관, 그래프를 통해 식을 해석하는 습관, 계산에 앞서 문제의 구조를 파악하려는 습관 등은 문제의 형태가 달라져도 그대로 활용할 수 있습니다.

내가 얻어야하는 최소한의 점수 얻기 

수학 공부를 하면서 제가 가장 중요하게 생각했던 것 중 하나는 '하방을 지키는 능력'이었습니다. 수능 수학은 100점을 목표로 공부할 수는 있지만, 실제 시험에서는 어려운 문제를 모두 맞히는 것보다 내가 맞힐 수 있는 문제를 놓치지 않는 것이 훨씬 중요합니다. 특히 2점, 3점 문항이나 비교적 평이한 4점 문항은 반드시 맞혀야 한다고 생각하며 공부했습니다.

이를 위해 저는 모의고사를 풀 때 저만의 원칙을 세웠습니다. 

우선 1회독 때는 처음부터 끝까지 순서대로 문제를 풀되, 풀이 방향이 떠오르지 않거나, 계산이 막히거나, 접근은 했지만 진전이 없다고 느껴지는 상태가 1분 이상 지속되면 문제의 난이도와 상관없이 일단 넘어갔습니다. 쉬운 문제든 어려운 문제든 시험장에서는 한 문제에 과도하게 시간을 사용하는 것이 가장 위험하다고 생각했기 때문입니다.

1회독을 마친 후 바로 2회독을 하기 보다는, 지금 남아 있는 문제들 중 내가 가장 높은 확률로 맞힐 수 있는 문제는 무엇일까?를 먼저 고민했습니다. 예를 들어 네 문제가 남아 있다고 가정해 보겠습니다. 한 문제는 계산이 복잡해 보여서 넘겼고, 한 문제는 케이스 분류까지는 했지만 정답이 되는 경우를 확정하지 못했습니다. 또 다른 문제는 아예 접근을 시작하지 못했고, 마지막 문제는 풀이를 진행했지만 답이 선지에 없어서 보류한 상태일 수 있습니다. 

이때 어떤 문제부터 푸는 것이 효율적일까요? 정답은 ‘가장 높은 확률로 점수를 얻을 수 있는 문제부터’ 입니다. 예를 들어 계산이 복잡해 보여 넘겼지만, 5분 정도만 투자하면 충분히 계산으로 밀어서 해결할 수 있다는 확신이 있다면, 그 문제를 먼저 풀었습니다. 계산에 5분을 투자하는 것이 아예 접근이 되지 않았던 문제를 쳐다보고 있는 5분보다 점수를 높이는 것에 효율적이기 때문입니다. 

결국 시험은 모든 문제를 푸는 사람이 아니라 제한된 시간 안에 가장 많은 점수를 가져가는 사람이 유리합니다. 저는 모의고사를 볼 때마다 이런 우선순위 판단을 반복적으로 연습했고, 자연스럽게 실전에서도 지금 무엇을 푸는 것이 가장 효율적인가를 빠르게 결정할 수 있게 되었습니다.

나의 습관/약점 메모하기 

하방을 지키기 위해 제가 꾸준히 했던 또 하나의 방법은 약점을 기록하는 것이었습니다. 틀린 문제의 풀이를 정리하는 데 집중하는 것도 좋지만, 내가 한 번 본 그 문제를 수능장에서 다시 볼 확률은 0에 가깝습니다. 그래서 저는 문제 자체보다 ‘왜 틀렸는지’를 기록하는 데 더 많은 시간을 투자했습니다. 개념을 몰라서 틀리는 경우보다, 이미 알고 있는 내용을 시험장에서 제대로 활용하지 못해 틀리는 경우가 훨씬 많다고 느꼈기 때문입니다.

위 사진은 제가 모의고사를 치른 후 작성했던 약점 기록 노트의 일부입니다. 모의고사 점수와 체감 난이도, 운용 방식을 전체적으로 기록하였고 단순히 몇 번 문제를 틀렸는지를 적는 것이 아니라, 그래프의 대칭성을 놓치거나 정의역을 확인하지 않는 등 제가 반복적으로 보이는 실수 패턴을 기록했습니다. 특히 같은 실수가 두 번 이상 등장하면 형광펜으로 표시하며 의식적으로 점검하려고 노력했습니다.

시험장에서 점수를 깎아먹는 것은 대부분 새로운 실수가 아니라 익숙한 실수인 경우가 많습니다. 그래서 저는 새로운 문제를 더 많이 푸는 것만큼이나, 내가 어떤 상황에서 흔들리는 사람인지를 아는 것이 중요하다고 생각했습니다. 수험생활 후반부로 갈수록 이 약점 노트를 읽는 시간을 늘렸고, 덕분에 모의고사를 풀때 유사한 실수를 줄이고 점수의 변동 폭도 점차 줄일 수 있었습니다. 

마무리하며 

수학 공부를 할 때 누군가는 많은 문제를 풀며 실력을 쌓고, 누군가는 오답 정리에 많은 시간을 투자하기도 합니다. 정답은 없겠지만 제가 수험생활을 하며 느낀 것은, 성적을 올리는 데 가장 중요한 것은 내가 부족한 것을 메꾸며 자신만의 공부를 해야한다는 것입니다. 스스로에게 부족한 것이 무엇인지 파악하고 보완하려는 노력이야말로 성적을 올리는 방법이 아닐까 생각합니다! 

이 칼럼에서 소개한 방법들이 모든 학생에게 맞는 정답은 아닐 것입니다. 하지만 여러분이 자신의 공부 방법을 돌아보고, 더 효율적인 방향을 고민하는 데 작은 도움이 되었으면 좋겠습니다. 칼럼 이외의 수학 공부법 관련하여 질문할 내용이나 이외 질문, 칼럼 주제 추천도 댓글로 남겨주세요 :) 

** 저번 칼럼에 남겨주신 댓글들도 순차적으로 답변드리겠습니다! 너무 늦어져서 죄송해요 ㅠ_ㅠ 새로 남겨주실 질문들이 있다면 이번 칼럼 댓글로 부탁드리겠습니다! 

제목이 96+6=102 인 이유는 저번 칼럼 일상 사진에 올렸던 사진에서 96+6=104 라고 썼더라구요...?! 매의 눈을 가지고 계신 수험생분께서 찾아주셨습니다 ㅋㅋㅋㅋㅋ 여러분은 저처럼 계산 실수 하시면 안됩니다!!! 

약간의 사담  

모두 잘 지내셨나요? 날씨가 부쩍 많이 더워지면서 공부하기 점점 힘들어지는 시기인 것 같습니다 ㅠㅠ 특히 6월 모의고사가 끝난 뒤 기분이 싱숭생숭하거나 앞으로의 공부 계획 때문에 여러 생각이 들기도 할 것 같아요. 지치고 마음이 흔들리는 날도 있겠지만, 지금까지 해 온 노력은 분명 여러분 안에 차곡차곡 쌓이고 있을 거에요! 당장의 결과에 조급해하기보다는 하루하루 자신의 페이스를 지켜 나가며 공부하시면 좋을 것 같아요. 

제 일상을 조금 공유드리자면! 

목표 달성 장학생 2조 친구들과 왓츠인마이백 영상을 찍기 위해 고려대학교에서 만났습니다! 지금 공개가 되어 있는데 보셨으려나요? ㅎㅎ 다양한 학교 친구들과 만나서 맛있는 것도 먹고 많은 얘기를 할 수 있어서 좋은 시간이었습니다. 

한양대학교 축제인 라치오스도 즐겼습니다! 다이나믹듀오 공연이 제일 좋았어요 그리고 에스파 진짜 엄청 이쁩니다…….. 💙 제가 정말 좋아하는 아티스트 중 한 명인 다니엘 시저 내한 콘서트도 다녀오고, 응원하는 축구팀인 리버풀의 레전드 매치도 보고 왔습니다. 

그렇게 신나게 놀았더니 기말고사 기간이 되었습니다. 과제도 하고 발표 준비도 하고 시험도 치다보니 벌써 6월 말이네요! 그런데 저는 아직 종강을 못했습니다… ㅠ_ㅠ  마지막 시험 하나를 남겨두고 있는데 얼른 방학이 되었으면 좋겠네요 ㅎㅎ 

요즘도 산책을 자주 하는데, 능소화가 피어있더라구요! 등하교, 등하원하면서 예쁜 꽃도 보고, 쉬는 시간엔 잠깐 하늘을 보는 여유도 가지며 공부하시면 좋을 것 같아요. 그럼 오늘 공부도 화이팅하시고, 다음 칼럼에서 뵙겠습니다! 

오늘의 추천곡 

STAY on FIRE (feat.DEAN)-식케이 

Moon (feat. Bon Iver)-Daniel Caesar 

숱한 밤들-술탄 오브 더 디스코