메가스터디

안녕하세요, 22기 멘토 이하진입니다:)

어느덧 6월도 끝나가고 7월 교육청 모의고사가 다가오고 있네요. 이번에는 최근 22번으로 자주 출제되는 지수·로그함수를 다뤄보려 합니다!

이렇게 생각하시는 분들이 많을 것 같습니다. 

'6모 22번 수열이었는데? 이 ㅅㄲ 트렌드 반영 개느리네 ㅋㅋ'

네... 저도 잘 알고 있습니다. 사실 원래는 6모 22번에 당연히 지수나 삼각함수 문제가 나올 거라 생각하고 글 쓸 준비를 하고 있었는데요, 당황스럽게도 수열이 튀어나와 버려서 상당히 곤란해졌습니다. 그래도 열심히 쓴 저를 불쌍히 여겨 끝까지 읽어주시면 감사하겠습니다. 그럼 시작!

#1. 우리는 왜 지수, 로그함수 문제를 어려워하는가 

먼저 방정식 하나를 풀어봅시다. 2^x = -x+1. 왠지 감각적인 직관으로 x=0일 것 같고, 실제로도 그렇습니다. 이번에는 2^x = -x를 풀어볼까요? 그래프를 그려보면 근이 하나가 존재한다는 건 알 수 있지만, 우리는 이를 구할 수 없습니다.

우리는 무능합니다. 어찌나 무능한지, 인생에서 수백 번은 봤을 y=2^x와 y=-x 그래프의 교점조차 컴퓨터 없이는 구할 수 없습니다. 다항식과 달리 인수분해를 통해서 방정식의 근을 구할 수도 없습니다. 말하자면, 지수와 로그함수는 '어려운' 함수입니다. 

우리는 고1 때까지 어려운 함수를 다뤄본 경험이 없습니다. 다항함수, 해봐야 유리함수 정도를 그려봤을 뿐이죠. 어려운 함수를 다루는데 쉬운 함수를 다루던 것처럼 행동하니, 당연히 잘 될 리가 없습니다. 어려운 함수는 어려운 함수에 걸맞게 대해줘야 합니다. 

#2. 원래 초월방정식은 풀리지 않는다 

앞서 말했듯이 지수와 로그는 어렵습니다. 문제가 쉽고 어렵고를 말하는 게 아닙니다. 근본적으로 다항식에 비해 다루기가 까다롭다는 것입니다. 2^x=-x의 근을 특수함수 없이 펜 하나 들고 구하는 건 여러분도 못하고 저도 못하고 교수님들도 못합니다. 풀리지 않는 게 정상입니다. 그렇지만 수능에 풀리지 않는 문제는 나오지 않습니다. 당연히 지수함수 문제도 풀립니다. 원래 풀리면 안 되는데 풀린다는 건, 매우 특수한 상황이라는 걸 의미합니다. 

2^x=-x+1을 이차방정식 풀듯이 풀 수는 없습니다. 그렇지만 x+2^x = 0+2^0이라고 표현한다면 어떨까요? 어떤 이유에선지는 모르지만, x=0일 때 성립함을 파악할 수 있습니다. 이번에는 y=a^x, y=log_a(x), y=-x+b를 생각해 볼까요? 교점이 정확히 어딘지는 모르겠지만, 역함수 관계로부터 두 교점이 y=x에 대칭적으로 나타날 것임은 알 수 있습니다. 

상당히 '우연하게' 풀립니다. 물론 푸는 사람 입장에서 말이죠. 출제자의 입장에서 봤을 때, 이는 필연입니다. 풀 수 없는 걸 풀도록, 그것도 고등 교육과정에 어긋나지 않도록 하다 보니 일어난 상황이죠. 여기에 주목해야 합니다. 

#3. 결국 대응되는 점일 수밖에 없다 

원래 지수, 로그함수 문제는 주어진 함수들을 적절히 대칭시키고 평행이동하고 확대해서 기하적 관계를 파악해서 푸는 것입니다. 그런데 생각을 해보면 이렇게 별의별 짓을 다해서 점을 이동시켰다고 해도, 결국 이 문제가 풀리려면 다른 한 점이 원래의 점을 적절히 이동했을 때 찍히는 점, 다시 말해 '대응되는 점'일 수밖에 없습니다. 그게 아니면 무능한 우리로서는 절대 근을 구할 수 없으니까요. 

함수를 적절히 대칭, 평행이동해보면 알 수 있듯 y=2^x 위의 점 (a, b)에 대응되는 y=log_2(x) 위의 점은 (b, a)일 것입니다. y=log_2(x-2)+1에서의 대응점은 (b+2, a+1)일 거고요. 그렇지만 각각의 함수에 좌표를 대입하고 조작하면 결국 b=2^a라는 식 하나로 귀결됩니다. 즉, 기하적으로 관찰해서 대응되는 점이라고 파악하는 건 대수적으로 관찰했을 때 같은 식이 나온다는 것과 같은 의미입니다, 다시 말해 기하와 대수는 동치입니다. 그러면 이런 생각이 듭니다. 함수가 너무 복잡하다면, 굳이 함수를 평행, 대칭, 확대/축소해서 기하적 의미를 찾는 것보다 좌표를 식에 대입하고 연립하는 게 나을 수도 있습니다. 관점의 차이일 뿐, 결과적으로는 같기 때문이죠.

답이 나오도록 문제가 만들어졌다면, 대수적으로 나올 수 있는 상황은 두 가지입니다. x+2^x = 0+2^0처럼 왠지는 모르지만 우연히 양변의 형태가 동일해서 근을 구할 수 있거나, y=a^x, y=log_a(x), y=-x+b의 교점처럼 역함수 관계로 나타나 대칭성을 활용할 수 있거나. 전자의 경우는 작년 6모와 수능의 대수 풀이를 찾아보시면 쉽게 접하실 수 있을 것입니다. 후자의 경우는 지금 첨부하도록 하겠습니다. 

보시면 알겠지만, 좌표로 놓고 대입해 연립하는 과정에서 '우연히' 역함수 관계가 나타납니다. 물론 우연이 아닙니다. 문제가 풀리기 위해서는 어쩔 수 없는 필연입니다. 

#4. 마무리 및 홍보 

다들 근황을 올리시길래 몇 장 넣어봤습니다. 유튜브 보고 갑자기 가고 싶어져서 밥도 먹고 오고, 한강 가서 산책도 하고, 오랜만에 전주 러셀도 한 번 가봤습니다. 보실 분들은 보시고, 일단 빠르게 스킵하겠습니다.

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오늘은 이렇게 처음으로 문제 풀이 팁과 함께 찾아왔습니다. 그렇지만 아직 넘기시면 안 됩니다. 제가 이렇게 열심히 쓴 건 바로 이 순간을 위해서기 때문이죠.

제가 인스타 계정을 하나 새로 시작할 예정입니다. 공부법, 과목별 팁 및 문제 풀이, 저뿐만 아니라 다양한 배경을 가진 분들이 어떻게 공부했고 그 전형을 위해 어떤 노력을 했는지 담은 인터뷰 등이 올라갈 것 같습니다. 다만 형식상의 제약이 있는 목달장 칼럼과 달리 조금 더 자유롭고, 솔직하고, 가독성 좋은 게시물로 찾아간다고 생각하시면 됩니다. 관심 있으신 분들은 @studyjinmath 팔로우해주시면 감사하겠습니다.

오늘 글은 이렇게 마치도록 하겠습니다. 유익하셨다면 제발 팔로우 눌러주시면 상당히 감사드리겠습니다. 댓글도 많이 달아주세요! 

이렇게 하니까 뭔 유튜브 아웃트로 같네요. 어쨌든 끝