안녕하세요 반갑습니다

2년 전쯤 열심히 칼럼을 올리다 요즘 좀 뜸했습니다. 무거운 칼럼 위주로 올렸는데 이런 내용이 글로써 전달되었을 때 전달력이 생각보다 너무 떨어진다는 것을 깨달았기 때문입니다. 또 상대적으로 가벼운 칼럼에 밀렸을 때 조금은 섭섭해 칼럼을 지속하지 못했습니다. 그냥 삐진거죠 안 봐줘서. 그러다가 근래에 그 옛날의 칼럼을 기억해주시고 질문을 주시던 분들이 몇 계셨습니다. 워낙 예전에 썼던 거라 신경도 못 쓰고 있었는데 좀 놀랐습니다. 필력이 좋지도 않고 두서없이 적었었거든요. 그래서 다시 용기를 내어 그간 과외와 학원 아르바이트를 하면서 정리했던 글들을 조금씩 풀어볼까 합니다. 부족한 글이겠지만 앞으로도 잘 부탁드리겠습니다. 감사합니다.

<전체 개괄>

학교나 학원에서 ‘정의에 입각하여 문제를 풀어라’라는 말을 많이 들어보셨을 겁니다. 수학에서 새로운 내용을 배울 때 수학 자체가 ‘정의’를 기반으로 하는 학문이므로 문제를 풀 때 발문에 포함된 단어의 ‘정의’를 떠올려주셔야합니다. 이렇게만 말씀드린다면 어떻게 개념을 생각해야할지, 어떻게 공부를 해야할지에 대한 아무 설명이 없는 무책임한 말이 되겠지요. 지금부터 그 수2의 개념이란 것에 대해 말씀드리겠습니다.

앞서 말씀드렸듯이 수학의 핵심은 ‘정의’입니다. O/X가 명확할 수 있는 학문이라는 뜻입니다. 여태까지 배웠던 내용과 앞으로 배울 내용을 O/X로 정리하자면 다음과 같습니다.

고등학교 1학년 때까지는 고정점에 대해서 배웠습니다. 중학교 때는 좌표를 찍어 연결하여 그래프를 그리는 방법을 배웠고 고등학교에 올라와서는 이미 만들어져있는 식에 특정 값을 대입하여 구하는 법을 배우기도 하였습니다. 그럼 이때까지의 개념에서의 O/X는 무엇일까요? 좌표평면 상에서 나타낼 수 있냐 아니냐가 핵심이라고 생각합니다. 그렇기에 수의 구분, 즉 실수와 허수의 개념을 공통수학에서 배운 바 있습니다.

여기서의 O/X는 ‘평면좌표에 표시할 수 있는가’ 입니다. 실수의 정의가 ‘좌표평면에 나타낼 수 있는 수’이며 허수는 실수를 제외한 복소수를 의미합니다. 앞으로의 문제들에서 보통 실수를 중점으로 다루기 때문에 허수는 정의만 알아두시고 실수만 챙겨갑시다.

이제부터 수2의 내용입니다. 지금까지 고정된 점에 대해 배웠으며 이제부터는 이동하는 점인 극한값(limit)에 대해 배웁니다. 극한의 정의는 어떤 값 f(x)가 x의 값이 어떤 수로 한없이 가까워질 때 일정한 수준에 한없이 가까워지는 것을 의미합니다. 그렇다면 여기서 O/X는 ’극한값이 존재하는가‘가 되겠지요. 일반적으로 x가 어떤 수에 가까워진다면 좌표평면상에서 좌측에서 가까워질 때와 우측에서 가까워질 때를 따로 생각해주어야할 것입니다.

따라서 극한값이 존재한다는 것은 좌측에서 가까워지는 값(좌극한)과 우측에서 가까워지는 값(우극한)이 같을 때를 의미하며 식으로 나타낸다면 다음과 같습니다.

그런데 여기서 a는 실수입니다. 우리가 배운 내용으로는 허수를 제외하면 모두 가능합니다. 하지만 실수 중에서도 좌표평면 상에서 표시가 불가한 것이 있습니다. 바로 무한대(∞)입니다. 그래서 우리는 수렴과 발산을 배웁니다. 어떤 식을 극한을 취했을 때 어떤 무한대가 아닌 실수에 한없이 가가워진다면 이를 수렴한다고 하며 수렴하지 않으면 발산한다고 합니다. 이제 우리는 여기까지 배웠습니다.

이제 우리는 좌극한과 우극한이 같으며 그 때의 값이 좌표평면에서 나타낼 수 있는 실수일 때 극한값이 존재함을 알게 되었습니다.

이제 고정값이 무엇인지, 이동값(극한값)이 무엇인지에 대해 배웠으니 이 둘의 관계를 알아야겠죠? 그 관계가 바로 ‘연속’입니다. 어떤 함수가 특정 지점에서의 고정값과 극한값이 같을 때 우리는 해당 지점에서 ‘함수가 연속하다’ 라고 합니다. 식으로 표현하면 다음과 같습니다.

쉽게 말로 하자면 함수가 한붓 그리기가 가능해야한다는 것입니다. 함수의 그래프를 그릴 때 한 번이라도 손을 떼어야한다면 그 함수는 연속하다고 할 수 없습니다.

이제 우리는 여기까지 배웠습니다.

수 2는 어찌보면 미분을 공부하기 위한 일련의 과정입니다. 여태까지 우리는 그래프를 그리기 위해 좌표를 몇 개 찍어보고 부드럽게 연결하여 그래프를 유추했으나, 미분을 배우고 나서는 그래프를 논리적으로 그릴 수 있게 됩니다.

그래프를 그리려면 무엇을 알아야할까요? 컴퓨터로 그리면 우리가 여태 그랬듯이 모든 좌표를 계산하여 점을 찍어나갈 것입니다. 그러나 우리는 그래프에서 알고 있는 어떤 점을 기준으로 다른 점들이 어떻게 변화해가는지를 알 수 있다면 그 그래프를 그릴 수 있을 것입니다. 초등학교 때 배웠던 규칙찾기를 떠올려봅시다. 3-6-9-12-◼️ 가 있을 때 우리는 당연히 빈칸 안에 15가 들어가야한다는 것을 알 수 있습니다. 물론 그 규칙이 우리가 생각한 것과 일치하다는 가정 하에서 합당한 판단이 되겠죠? 이렇듯 좌표들간의 변화의 추세를 확인하면 좌표들의 연속인 그래프를 그릴 수 있습니다. 이 변화를 우리는 기울기라고 하며 y증가량/x증가량 으로 정의합니다. x가 변화할 때 y의 변화량의 비율을 알 수 있다면 점과 점 사이의 관계를 알 수 있다는 이야기입니다. 그런데 그래프를 그리려면 빠지는 점이 없이 모두 찾아주어야겠죠? 그래서 이 때 우리가 배웠던 극한을 사용합니다. x 증가량을 극단적으로 작게 줄이면 점과 점 사이의 빈 공간 없이 좌표평면을 촘촘하게 채울 수 있을 것입니다. 즉, 어떤 함수를 미분했을 때 미분 결과로 나온 함수는 원래 함수의 기울기를 촘촘하게 찍은 결과로 이해할 수 있으며 이를 우리는 ‘도함수’라고 합니다. 기호로는 f(x)의 도함수를 f’(x)로 나타내며 식은 다음과 같습니다.

이제 미분이 무엇인지 배웠으니 또 O/X를 해봅시다. 미분에서의 O/X는 당연히 ‘미분이 가능한가’가 되겠죠? 눈치 빠르신 분들은 벌써 예상하셨을겁니다. 미분의 정의가 애초에 극한에서 출발하였습니다. ‘극한값이 존재한다’의 정의가 ‘좌극한과 우극한이 같다’였었죠? 그래서 ‘미분 가능하다’ 역시 ‘어떤 지점에서의 도함수의 좌극한과 우극한이 같다’입니다. 식으로 표현하면 다음과 같습니다.

*물론 수학적으로는 표현이 조금 이상합니다만 고등 수학 하에서는 그냥 그대로 이해해주셔도 됩니다.

이제 우리는 모든 개괄을 배웠습니다. 적분은 미분의 역연산과정이며 어떤 그래프의 넓이를 의미하기도 합니다만 큰 틀에서는 중요하지 않아 일단은 빼고 설명드렸습니다. 생각보다 수2의 개념이 별 것 없다는 것을 알 수 있지 않나요? 여태까지 배운 내용은 고정값, 수2의 처음은 이동값인 극한, 고정값과 극한값의 관계인 연속, 기울기의 연속성을 판단하는 미분가능성. 이것이 다입니다. 이 흐름을 기억하시고 수2를 마주하신다면 분명 헷갈림이 덜 하게 학습하실 수 있을겁니다. 물론 어려운 수학문제에는 이 외의 곁다리 개념들(역함수, 합성함수, 실근의 개수 등)을 섞어놔 충분한 연습이 필요합니다. 그래도 고난도 문항일수록 기본 개념의 충분한 이해가 필요하니 부디 도움이 되셨길 바라겠습니다. 다음에 기회가 된다면 <수2란 무엇인가-문제편>으로 찾아오겠습니다. 감사합니다.