3번째 QCC입니다.
이번 글의 주제는 “수능 수학 기출은 어떻게 분석하는가?”입니다.
모 강사 밑에서 수석조교로 일하면서 약 30년치의 교사경/평가원 기출 해설서를 집필해본 경력을 바탕으로, 전문가의 수능 수학의 기출 분석은 어떻게 진행되는지를 보여드리고자 합니다.
(제가 어떤 강사 밑에서 일했는지에 관련된 정보가 담긴 댓글은 자제 부탁드립니다.)
글에 앞서, 아래의 사실을 먼저 고지하고 시작합니다.
1. 아래 내용은, 기출 분석의 “이상향”을 담고 있습니다.
2. (1)의 내용에 의거하여, 이번 QCC에 한하여, 난이도 조절 같은 거 하지 않았습니다. (그래도 가독성은 신경 썼습니다.)
3. (1), (2)의 내용에 의거하여, “개론”이 아닌 “총론”으로 제목을 명명하였습니다.
본론으로 들어갑시다.
보여드릴 예시는 미적분에서 종종 출제되는 “변곡접선”이라는 테마입니다.
선정한 문항들은 다음과 같습니다.
1. 2014학년도 수능 B형 30번
2. 2023학년도 6월 평가원 미적분 30번
3. 2024학년도 수능 미적분 30번
1. 2014학년도 수능 B형 30번
“변곡접선”이라는 주제가 가장 처음 등장했다고 평가받는 문항입니다.위 문항이 출제된지 12년이 지난 현재에는, 대부분의 학생들 모두 변곡접선을 그려 풀지만, 기출을 분석할 때는 하나의 질문을 더 던져봅시다. “내가 그 시절로 돌아간다면, 어떻게 풀었을까?”그 시절, 변곡접선이라는 테마가 본격적으로 등장하기 이전이었으므로, 대부분의 수험생들은 관련 실전 개념에 대한 훈련이 부족한 상황이었습니다. 따라서, 당시의 가장 현실적인 풀이는 다음과 같습니다.
그렇지만, 지금은 12년이라는 시간이 흘렀고, 대부분의 상위권 학생들은 “변곡접선”이라는 테마에 대한 학습을 끝냈습니다.“변곡접선”의 개념을 활용한, 현대의 가장 대중화된 풀이는 다음과 같습니다.
분석은 지금부터 시작입니다.위의 그림에 적혀있는 접선의 개수가 변화하는 경계는 총 3개가 나타납니다. 그중 2개의 지점은 변곡접선에 의한 경계임을 관찰할 수 있으며, 그을 수 있는 접선의 개수는 해당 경계에서 2만큼 변화합니다.자 그렇다면, 문제에서 거의 건드리지 않은 하나의 경계, 원점에 대해서 파악하셔야 합니다. 변곡접선에 의한 경계와 달리 그을 수 있는 접선의 개수는 해당 경계에서 1만큼 변화합니다. 원점에서 경계가 발생한 이유는 다음과 같습니다.1. 원함수(곡선) 그 자체가 경계가 되어서.2. 원함수의 점근선이 경계가 되어서.따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.1. 접선과 관련된 판단을 할 때 변곡점, 변곡접선은 중요요소이다. (출제 요소)2. 이외에도 곡선 그 자체와, 점근선은 “접선의 개수”에 영향을 끼친다. (미출제 요소)2. 2023학년도 6월 평가원 미적분 30번
약 9년 정도의 시간이 지나고, 다시 “변곡접선”이 고난도 문항으로 등장했습니다. (참고로, 저는 위 문항을 현장에서 응시하였습니다.)문항의 풀이는 다음과 같습니다.
위의 141130(B)에 대한 분석이 진행되었다면, 접선을 관찰할 때, 변곡점과 변곡접선은 매우 중요한 요소임을 알고 있으므로, 빠르게 풀어낼 수 있습니다. 위의 변곡접선, 변곡점 관련 테마에 230630은 아래의 수학적 메시지를 더 던지는 것입니다.“접선의 기울기의 부호(극점)는 만나는 점의 개수에 영향을 끼친다.”3. 2024학년도 수능 미적분 30번
바로 다음 해 수능에 변곡접선 관련된 내용이 또 고난도 문항으로 출제되었습니다.풀이는 다음과 같습니다.
이제 “변곡접선”이라는 테마를 위에 소개한 3개의 문항을 토대로 마지막 정리를 해봅시다.우선, 모두 공통적으로 아래의 내용을 담고 있습니다.“접선을 관찰할 때 변곡점/변곡접선은 매우 중요한 요소이다.”기출 분석이 제대로 진행되었다면 앞으로 새로운 문항을 볼 때, 접선 관련된 내용이 나타나면, “변곡점/변곡접선”을 떠올려야 함을 알 수 있습니다. 변곡접선이라는 테마의 가장 중요한 본질이니깐요.여기에 문항 각각만의 특색들이 추가됩니다.간단하게만 표현하면141130(B)의 경우에는 “점근선”230630(미적)의 경우에는 “극점”241130(미적)의 경우에는 “원함수와 접선 사이의 부호 변화”이는 앞으로 계속해서 나올 변곡점/변곡접선 테마의 다양한 Variation들이라 생각하시면 됩니다. 위에 언급한 출제된 내용들과 더불어 새롭게 출제된 내용들을 얼마나 현장에서 빠르게 위의 내용들을 변곡점/변곡접선과 연계하여 떠올릴 수 있을지에 대해 고민하시고, 학습하셔야 합니다.기출 분석이라 함은, 2번째 Qcc에서 언급하였듯 "이미 출제된 내용들에 대한 훈련"을 위함입니다. 따라서, 간단하게 풀고만 넘어가는 것이 아닌, 각각의 테마에 대한 "중심적 내용 학습"과 함께, 이전 기출에서 새롭게 추가되거나, 숨겨진 미출제된 요소들 등을 분석하셔야 합니다.위와 같은 분석을 전혀 진행하지 않고 단순하게 풀고만 넘어간다면, 그건 N제 풀이와 다를 바가 없습니다. 그러니, 꼭 유념하시여 수학 공부에 정진하셨으면 좋겠습니다.오늘의 QCC는 여기까지입니다. 일교차가 큰데 건강 유념하시고, 파이팅입니다.
가톨릭대학교 의예과