20번 질문받아서 올립니다.

이번 시험에서 꽤나 이슈였던 문제에요.
접할 때 경계로 놓고 삼차방정식이 안 풀려서
문제 오류라 생각하신 분들 많을 것 같습니다.



각설하고.


f(x)=x³-12x 식을 알려줬고, 익숙한 개형입니다.
g(x)=a(x-2)+2 점 (2,2)를 a값에 관계없이 지나고
a가 0이 아니므로, 일차함수입니다.

f와 g를 이용해 h(x)라는 함수를 정의하고 있네요.
h(x)는 f가 g이상일 때는, f
           g가 f보다 클 때는, g 라고합니다.

즉, f(x)와 g(x) 중 작지 않은 것을 고르는 것이고
그래프에서는 위에 있는 함수를 고르면 되는
그러한 함수입니다.

(Max, min 함수 라고도 불려요.
기출에도 많이 나왔던 함수고, 문제로 자주 쓰입니다.)


좌표평면상에 삼차함수 f(x)를 먼저 그려줍시다.
그 후 a값의 범위에 따라서 h(x)가 변하고,
box 조건을 만족하는 k의 유무가 바뀌겠네 따위의
생각을 하며,  한 번 g(x)를 아무렇게나 그려보세요.
그 후 h(x)가 어떻게 작성되는지에 적응하고
이해해주세요. (참고로 풀이에서 빨간색이 h(x)에요)
 개형 추론 문제는 특히나 문제 상황에
완벽히 익숙하고 적응한 상태이어야 해요.

아마, i), ii), iii), iv) 상황을 모두 그려보셨을 텐데요,
a>=0이면 불가능함을 쉽게 알 수 있고,
iii) 케이스가 가능한 것도 보이네요.
여기서 m<a<M일 때 box조건을 만족하므로,
m값 M값이 경계값인 것도 파악이 돼요.
iii),  iv) 그리고 a=0인 것으로 미루어 보아
경계는 접할 때 같아요.

접점의 x좌표를 t로 두고, {f(t)-2}/(t-2)=f'(t)를 풀면
되겠네요. t³-3t²+13=0 
t=-1.. 안되고
t=-2.. 당연히 아니고
? ? ?




네... 접할 때가 경계가 아닙니다.

f(x)의 극대 부근을 확대하여,
접할 때의 a값보다 a가 아주 살짝 크다고 해봅시다.
그러면, 직선이 반시계 방향으로 회전하는데
이 상태에서 h(x)를 그리면, box조건을 만족하지 않는
것을 알 수 있어요. 즉, 접할 때가 경계가 아니라는
겁니다.

☆이 때, 아주 살짝 회전하는 것에 주의해야해요.
회전을 좀 많이 하여, 교점이 극대점보다 왼쪽에 있으면
정말 문제 오류처럼 보이고 당황스러워져요.
저희가 하는 것은 접할 때가 경계인지 살피는 것이기에
아주 살짝 움직일 때를 보아야 하는 겁니다.☆


그러면, 이 문제는 오류일까요?

iii)에서 저희는 극대 왼쪽에 v자로 극소가 생겨서
그 y좌표 부근에서, box를 만족시키는 k값이 존재하는 것을 파악했습니다.

핵심은 직선이 극대점보다 왼쪽에서 만나는지입니다.
v자가 생기려면, f(x)의 극대인 부분이 g(x)보다 커야해요. 왜냐면 h(x)의 정의에 의해서!!
그렇기에, 이것이 가능하려면, a<0이고
교점이 극대점 왼쪽이어야하는 것입니다.
이게 케이스 iii)의 정확한 정의에요.


그렇기에 경계는 직선이 극대점을 지날 때,
a=-7/2일 때 입니다. 이것이 m이 됩니다.
a가 m보다 작거나 같을 때는 안 돼요.


계산해주시면 답은 35입니다.