[’낮1->높1‘ 뚫어내기] 2편 들고 왔습니다 ദ്ദി ' ᵕ ' )

높2~낮1 학생들에게 칼럼 수요가 많길래 한 번 더 정리해왔어요

<1. 조건 해석>

문제에 제시된 조건을 쉬운 말로 바꿔서 해석하는 연습, 즉 동치해석을 해보시면 좋습니다.

예를 들어 “미분 가능한 함수 f(x)에 대하여 y=|f(x)-x|는 미분가능하다” 라는 조건을 보면 어떤 생각이 떠오르시나요?

저는

- y=f(x)와 y=x는 만나지 않거나

- 만난다면 2차 이상 인수를 가지며 만난다

로 번역하여 해석합니다.

좀 더 쉬운 조건으로 바꿔주며 기왕이면 문제를 편하게 풀려고 하는 거죠. 직관적으로 다가올 수 있도록 한국말로 필요충분조건을 적는 겁니다.

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이 문제에선 박스 안 조건을

(가): f‘(a)=0인 실수 a의 최댓값은 2

(나): f(x)의 두 개의 극솟값 중 더 큰 값이 8/3

라고 정리할 수 있습니다.

저는 복잡한 조건이 나오면 옆에 한국말로 동치해석을 적어놓고, 발문의 조건은 x표시 했어요. 이미 소화가 완료된 조건은 다시 볼 필요 없다는 뜻입니다.

이렇게 되면 풀다가 다시 발문으로 올라왔을 때 아직 활용하지 않은 다른 조건에서 힌트를 찾게 돼요. 불필요한 시간 낭비를 줄일 수 있답니다.

<2. 실모>

a. 학생들이 왜 자꾸 앞 번호대에서 실수하는지에 대한 고민을 많이 하시는데요. 그건 그냥 급하게 풀어서 그래요. 제발 침착합시다!! 

계산 실수가 많은 것도, 발문의 조건을 놓치는 것도, 문제를 잘못 읽는 것도 실력의 영향이 아예 없다고 할 순 없지만 문제 대충 읽고 대충 계산하는 것만 안 해도 반 이상은 고쳐져요.

천천히 푸느라 5분 지체되는 게 빨리 푸느라 5점 날리는 것보단 낫잖아요.

그래서 저는 앞 번호도 검토하면서 풀었어요. 무조건 빨리 쳐내려고 하지 않았고, 마킹하기 전에 컴싸로 1페만 한 번 더 풀었어요. 

물론 그렇다고 세월아 네월아 거북이처럼 풀라는 말은 아닙니다. 적당한 텐션을 지키면서 바보 같은 짓 안 할 정도의 속도로 풀라는 거예요. 

그럼에도~… 계산 말리는 경험은 저도 정말 많이 해봤기에…

미적러들을 위해 정말 별거 아닌 소소한 팁을 드리겠습니다.

등비급수 문제에서 일반항을 구하려고 하지 말고 ‘첫째항’과 ‘공비’를 구하려고 하면 좋습니다. 등비급수 합 공식은 a/1-r이니 저희는 ‘첫째항’과 ‘공비’에만 집중하면 됩니다.

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공비를 구할 때도 일반항을 직접 구하기 보단, 몇 칸 이동했는가를 보면 더욱 구하기 쉽습니다.

홀수항이나 짝수항처럼 2칸마다 같은 형태가 반복된다면 r에 제곱을 해주면 되고, 주기가 4인 수열이라면 r에 네제곱 해주면 됩니다.

다시 본론으로 돌아가서,,

b. 분명 내 풀이가 맞는 거 같은데 답이 이상하게 나온다면

-> 다시 위로 올라가서 1. 내가 놓친 조건이 있나 확인하고 2. 평정심을 유지하며 다시 계산하기

그런데도 답이 나오지 않는다면?

-> 첫 풀이부터 잘못된 거니 ‘관점 전환‘하기

이상한 것에 매몰돼서 뱅뱅 돌기만 하는 경우입니다.

이럴 땐 첫 풀이부터 다시 시작합시다. 내가 풀었던 풀이가 아닌 관점을 바꿔 다르게 생각하려고 해야 돼요. 

어떻게 관점 전환하냐고요?

수식으로 밀어붙이다가 계산이 너무 더럽고 직관적이지 않게 느껴진다면 바로 기하적 관점으로 바꿔 그래프로 해석하려고 한다거나

f(x)와 이를 적분한 F(x)가 제시되어 있을 때, f(x)의 그래프를 그리며 풀다가 막히는 경우 다시 처음으로 돌아가 F(x)관점으로 그래프를 새로 그려 푸는 등 

유동성 있는 시각으로 바라보는 겁니다.

예1) 220614

많은 학생들이 (가)에서 g(x)=-|f(x-p)+q| (x<0), |f(x-p)+q| (x>0)으로 둘 겁니다. 

그리고 함수 f(x)를 x축으로 p, y축으로 q만큼 평행이동 시킨 그래프가 x축과 만나는 경우를 생각하며 조건을 만족시키도록 그래프를 그리려고 할 겁니다. 

하지만 많은 케이스가 나오고 이것저것 그리다보니 개형 추론하기도 힘들죠.

바로 관점 전환 들어갑시다. 이 문제는 단순 개형 추론 문제기도 하지만 미분 가능성을 묻고 있는 문제기도 합니다. 

좌변 함수인 xg(x)는 실전 연속이고 x=0에서 미분 가능합니다. 따라서 우변 함수도 좌변 함수의 성질을 따라 x=0에서 미가, x=a에서 미불이 되어야 하죠. 따라서 f(x-p)+q= x³(x-a)가 되어야 합니다.

기하적 관점뿐만 아닌 미분가능성 관점으로도 풀 수 있는 거죠.

예2) 250921

생긴 게 딱봐도 평균 변화율 냄새가 납니다. 근데… 아무리 봐도… 평균 변화율을 어떻게 사용해야 할지 모르겠습니다…. 

그럴 땐? 관점 전환해서 다른 시각으로 풀어봅시다. 

f(x)를 미지수를 포함한 식으로 표현한 뒤, 수식으로 밀어 붙이는 거예요. 정수 조건도 제시되어 있으니 빠뜨리지 말고 반드시 정수 조건까지 이용해 풉시다.

사실 전 실전에서 이 문제를 못 풀었습니다. 분명 평균 변화율이 맞는데 아무리 그래프를 그려봐도 길이 안 보이더라고요. 

결국 같은 자리에서 맴돌기만 하고 풀지 못했습니다. 시험이 끝난 후 해설을 봤는데 정말 허무하더라고요..

이렇게 요즘 평가원은 사교육에 물든 학생들의 클리셰를 깨는 문제를 자주 내기 때문에 관점 전환이 정말 중요한 거 같습니다. 

실모 데이터를 쌓으며 한 가지 풀이에 집착하지 말고 다른 관점에서, 다른 풀이를 떠올리는 연습을 하시면 좋습니다. 

<3. 사고 과정에 대한 점검>

스스로에게 질문을 계속 던집시다.

•왜 실전에서 이런 풀이를 생각하지 못했지?

•왜 난 이 풀이에만 매몰되어 있었을까?

•푸는 방법은 대충 알았는데 왜 중간에서 막힌 거지?

•이런 발상은 어떤 사고 과정을 거쳐야 떠올릴 수 있을까?

•좀 더 효율적이고 빠르게 풀 수 있는 방법은 없을까?

특정한 스킬, 고능한 풀이 방법도 물론 좋지만 실전에서 이런 풀이들을 떠올릴 확률이 적기도 하고 특정 문제에서만 쓸 수 있는 일회성 풀이인 경우가 많기에, 시험장까지 가지고 갈 수 있는 건 결국 태도뿐이라고 생각했어요.

왜? 라는 질문을 계속 던지면서 사고 과정 그 자체에 대한 점검을 지속적으로 해야해요.

풀이는 뭐 해설지 보면 다 적혀있어서 어떻게 푸는지 알잖아요. 하지만 제일 중요한 사고 과정은 해설지에 적혀있지 않는 경우가 대부분입니다. 

이런 사고 과정은 대부분 강사님의 구두 설명에 담겨있기 때문에 저는 강의를 들을 때 강사님이 스치듯이 말씀하시는 사고 과정에 집중했어요. 해설지는 어차피 나눠주니 수업 땐 수업에 집중하고 집 가서 복습할 때 해설지 봅시다.

<4. 공부량은 늘었는데 계속 성적이 떨어지는 느낌이 든다면?>

매주 응시하는 실모, 주간지 등 주어진 것만 쳐내려고 하고 있진 않나요? 뇌 빼고 공부하며 내 수준에 맞는 문제들만 풀고 있진 않나요?

저희는 

1. 상방을 뚫기 위한 공부

2. 부족한 부분 메꾸기

3. 필요시 다시 개념으로 돌아가기

를 해야 합니다. 

기반이 덜 다져져 있다고 느끼면 실전개념 책(or상반기 주교재)을 다시 보며 개념 부분을 꼼꼼히 정독해 주시고 거기에 수록되어 있는 문제만큼은 이해하고 넘어가 주세요.

그리고 모르는 것만 공부해주세요. 사실 과거의 저에게 가장 해주고 싶은 말입니다. 

제가 전에 올린 [‘낮1->높1’ 뚫어내기] 1편에서 ‘풀이 뒷과정 예상’을 설명 드렸습니다. 

“~~이렇게 하면 답 나오겠네” 예상되시면 끝까지 풀지 말고 바로 답지 봐주세요. 답지 풀이 흐름이 본인이 예상한 풀이와 맞다면 바로 다음 문제로 넘어가주세요.

풀이 예상이 잘 되지 않고, 본인 예상이 틀렸다면 그 문제는 끝까지 풀어주시면 됩니다.

이렇게 하면 하루에 많은 문제를 볼 수 있고, 내가 모르는 문제만 빠르게 풀 수 있습니다.

저희는 상방을 뚫어야 하니 어렵고 모르는 문제만 골라 푸는 거예요. 

그리고 무엇보다 가장 중요한 건 양입니다. 뭐든지 양이 뒷받침 돼줘야 해요. 지금도 공부 많이 하고 계시겠지만 거기에 조금만 더해서 조금만 더 풀어봅시다. 피지컬을 키우는 거예요.

긴 글 읽어주셔서 감사합니다🙇🏻🫶🏻

(2~3등급 학생들을 위한 칼럼도 올려놨으니 참고해주세요!)